Sin^2x-sin^2(2x)+sin^2(3x)=0.5

Решим уравнение $\sin^2 x - \sin^2(2x) + \sin^2(3x) = 0.5$.

1. Преобразуем уравнение

Используем тригонометрическое тождество $\sin^2 A = \frac{1 - \cos(2A)}{2}$, чтобы записать все синусы в квадрате через косинусы:

Подставим эти выражения в уравнение:

Упростим:

Скобки раскроем:

Приведём подобные слагаемые:

Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от знаменателя:

Сократим единицы:

2. Решим уравнение

Уравнение сводится к виду:

Используем формулу разности косинусов: $\cos A - \cos B = -2 \sin\left(\frac{A + B}{2}\right) \sin\left(\frac{A - B}{2}\right)$. Применим её для $\cos(4x) - \cos(2x)$:

Упростим:

Подставим это в уравнение:

3. Преобразуем правую часть

Используем формулу косинуса через синус: $\cos(6x) = 1 - 2 \sin^2(3x)$. Подставим:

4. Приведём уравнение к стандартному виду

Перенесём всё в одну часть:

Обозначим $\sin(3x) = t$, тогда уравнение примет вид:

Это квадратное уравнение относительно $t$, решаем его: