Sin^2x-sin^2(2x)+sin^2(3x)=0.5

Ответы на вопрос

Отвечает Barbq-Junior Андрюха.

Решим уравнение $\sin^2 x - \sin^2(2x) + \sin^2(3x) = 0.5$ .

1. Преобразуем уравнение

Используем тригонометрическое тождество $\sin^2 A = \frac{1 - \cos(2A)}{2}$ , чтобы записать все синусы в квадрате через косинусы:

\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}, \quad \sin^2(2x) = \frac{1 - \cos(4x)}{2}, \quad \sin^2(3x) = \frac{1 - \cos(6x)}{2}.

Подставим эти выражения в уравнение:

\frac{1 - \cos(2x)}{2} - \frac{1 - \cos(4x)}{2} + \frac{1 - \cos(6x)}{2} = 0.5.

Упростим:

\frac{1 - \cos(2x) - (1 - \cos(4x)) + 1 - \cos(6x)}{2} = 0.5.

Скобки раскроем:

\frac{1 - \cos(2x) - 1 + \cos(4x) + 1 - \cos(6x)}{2} = 0.5.

Приведём подобные слагаемые:

\frac{\cos(4x) - \cos(2x) - \cos(6x) + 1}{2} = 0.5.

Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от знаменателя:

\cos(4x) - \cos(2x) - \cos(6x) + 1 = 1.

Сократим единицы:

\cos(4x) - \cos(2x) - \cos(6x) = 0.

2. Решим уравнение

Уравнение сводится к виду:

\cos(4x) - \cos(2x) = \cos(6x).

Используем формулу разности косинусов: $\cos A - \cos B = -2 \sin\left(\frac{A + B}{2}\right) \sin\left(\frac{A - B}{2}\right)$ . Применим её для $\cos(4x) - \cos(2x)$ :

\cos(4x) - \cos(2x) = -2 \sin\left(\frac{4x + 2x}{2}\right) \sin\left(\frac{4x - 2x}{2}\right).

Упростим:

\cos(4x) - \cos(2x) = -2 \sin(3x) \sin(x).

Подставим это в уравнение:

-2 \sin(3x) \sin(x) = \cos(6x).

3. Преобразуем правую часть

Используем формулу косинуса через синус: $\cos(6x) = 1 - 2 \sin^2(3x)$ . Подставим:

-2 \sin(3x) \sin(x) = 1 - 2 \sin^2(3x).

4. Приведём уравнение к стандартному виду

Перенесём всё в одну часть:

2 \sin^2(3x) - 2 \sin(3x) \sin(x) - 1 = 0.

Обозначим $\sin(3x) = t$ , тогда уравнение примет вид:

2t^2 - 2t \sin(x) - 1 = 0.

Это квадратное уравнение относительно $t$ , решаем его:

t = \frac{-(-2 \sin(x)) \pm \sqrt{(-2 \sin(x))^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2}.

Топ вопросов за вчера в категории Алгебра

Последние заданные вопросы в категории Алгебра