y = √(lg x + lg(x+2)) — всё выражение под корнем. Найти область определения функции.

Функция задана так:

\[y = \sqrt{\lg x + \lg(x+2)}\]

Чтобы выражение имело смысл, должны выполняться два условия.

• Логарифмы существуют: \(x > 0\) и \(x+2 > 0\). Главное условие здесь: \(x > 0\).
• Выражение под корнем неотрицательно: \(\lg x + \lg(x+2) \ge 0\).

Сложим логарифмы:

\[\lg x + \lg(x+2) = \lg(x(x+2))\]

Тогда:

\[\lg(x(x+2)) \ge 0\]

Так как основание логарифма \(10\), получаем:

\[x(x+2) \ge 1\]

\[x^2 + 2x - 1 \ge 0\]

Найдём корни:

\[x = -1 \pm \sqrt{2}\]

Парабола направлена вверх, значит:

\[x \le -1 - \sqrt{2}\] или \[x \ge -1 + \sqrt{2}\]

Но ещё должно быть \(x > 0\), поэтому остаётся:

\[x \ge -1 + \sqrt{2}\]

Ответ: \([\sqrt{2}-1; +\infty)\).

0 0 Пожаловаться