Найдите область определения функции f(x) = √(x-7)(x+10)/x-2. P.S. Всё, что после равно, под одним корнем.

Для нахождения области определения функции $f(x) = \sqrt{\frac{(x-7)(x+10)}{x-2}}$ необходимо учесть несколько условий:

1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть $\frac{(x-7)(x+10)}{x-2} \geq 0$.
2. Делитель не должен быть равен нулю, то есть $x \neq 2$, так как деление на ноль невозможно.

Разделим решение на два этапа:

1. Исследуем выражение $\frac{(x-7)(x+10)}{x-2} \geq 0$:

• Множители $(x-7)$, $(x+10)$, и $(x-2)$ меняют знак в точках $x = 7$, $x = -10$ и $x = 2$, соответственно.
• Расставим промежутки на числовой оси: $(-\infty, -10)$, $(-10, 2)$, $(2, 7)$, и $(7, +\infty)$.
• В каждом промежутке определим знак выражения $(x-7)(x+10)$ и $x-2$.

2. Найдем знак выражения на каждом промежутке:

• На промежутке $(-\infty, -10)$: все множители отрицательны, результат положителен.
• На промежутке $(-10, 2)$: множители $(x-7)$ и $(x+10)$ с противоположными знаками, результат отрицателен.
• На промежутке $(2, 7)$: выражение снова отрицательно.
• На промежутке $(7, +\infty)$: все множители положительные, результат положителен.

Итог:

Область определения функции — это объединение интервалов, где выражение под корнем неотрицательно, с учётом того, что $x \neq 2$. То есть область определения будет: $(-\infty, -10] \cup (7, +\infty)$, за исключением точки $x = 2$.