Найдите область определения выражения: x^2-2x-8/16-x^2, все выражение под корнем

Для нахождения области определения выражения $\sqrt{\frac{x^2 - 2x - 8}{16 - x^2}}$, нужно учесть, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Это значит, что дробь $\frac{x^2 - 2x - 8}{16 - x^2}$ должна быть больше или равна нулю.

Шаг 1: Найдем корни числителя и знаменателя.

Числитель:

Решим уравнение $x^2 - 2x - 8 = 0$ с помощью дискриминанта:

• $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$
• Корни: $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + 6}{2} = 4$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - 6}{2} = -2$$

Таким образом, числитель равен нулю в точках $x = 4$ и $x = -2$.

Знаменатель:

Решим неравенство $16 - x^2 > 0$:

Знаменатель равен нулю в точках $x = 4$ и $x = -4$. Однако, поскольку в знаменателе дроби деление на ноль недопустимо, эти значения должны быть исключены из области определения.

Шаг 2: Определим, где дробь неотрицательна.

Теперь рассмотрим знаки числителя и знаменателя на интервалах, определяемых корнями:

1. Интервал $(-\infty, -4)$:

   • Числитель: положителен (так как $x < -2$).
   • Знаменатель: отрицателен (так как $x < -4$).
   • Весь дробь: отрицательна.

2. Интервал $(-4, -2)$:

   • Числитель: положителен (так как $x < -2$).
   • Знаменатель: положителен (так как $-4 < x < 4$).
   • Весь дробь: положительна.

3. Интервал $(-2, 4)$:

   • Числитель: равен нулю в точке $x = -2$ и положителен до этого.
   • Знаменатель: положителен.
   • Весь дробь: положительна, включая $x = -2$.

4. Интервал $(4, \infty)$:

   • Числитель: положителен.
   • Знаменатель: отрицателен (так как $x > 4$).
   • Весь дробь: отрицательна.

Шаг 3: Записываем область определения.

Подытожим полученные результаты:

• Дробь неотрицательна на интервале $(-4, -2]$.
• Точка $x = 4$ исключается, так как в знаменателе возникает деление на ноль.

Таким образом, область определения данного выражения:

Это значит, что подкоренное выражение определено и неотрицательно на данном интервале.