Катер в 10 часов 15 минут отправился по течению реки от пристани A к пристани B. Пробыв 4 часа у пристани B, катер отправился назад и прибыл к пристани A не позднее 17 часов 30 минут того же дня. Найдите наименьшее возможное целое значение собственной скорости (в км/ч) катера, если скорость течения реки равна 2 км/ч и расстояние между пристанями равно 20 км.

Пусть собственная скорость катера \( v \) км/ч (\( v > 2 \)).

Скорость по течению: \( v + 2 \) км/ч, против течения: \( v - 2 \) км/ч.

Время в пути: от 10:15 до 17:30 — 7 ч 15 мин = 7,25 ч. Стоянка 4 ч, значит, чистое время движения не более \( 7{,}25 - 4 = 3{,}25 \) ч.

Уравнение: \[ \frac{20}{v+2} + \frac{20}{v-2} \le 3{,}25. \]

Умножим на \( (v+2)(v-2) \): \( 20(v-2) + 20(v+2) \le 3{,}25(v^2 - 4) \).

\( 40v \le 3{,}25v^2 - 13 \) → \( 3{,}25v^2 - 40v - 13 \ge 0 \). Умножим на 4: \( 13v^2 - 160v - 52 \ge 0 \).

Решаем квадратное уравнение \( 13v^2 - 160v - 52 = 0 \). Дискриминант \( D = 160^2 + 4 \cdot 13 \cdot 52 = 25600 + 2704 = 28304 \).

\( \sqrt{D} = \sqrt{28304} = 4\sqrt{1769} \approx 168{,}24 \).

Положительный корень: \( v = \frac{160 + 168{,}24}{26} \approx 12{,}62 \).

Неравенство выполняется при \( v \ge 12{,}62 \). Наименьшее целое значение — 13 км/ч.

Проверка: при \( v = 13 \) время по течению \( \frac{20}{15} \approx 1{,}33 \) ч, против течения \( \frac{20}{11} \approx 1{,}82 \) ч, сумма \( \approx 3{,}15 \) ч < 3,25 ч. При \( v = 12 \) сумма \( \frac{20}{14} + \frac{20}{10} \approx 1{,}43 + 2 = 3{,}43 \) ч > 3,25 ч.

Ответ: 13 км/ч.

0 0 Пожаловаться