Катер проходит 66 км по течению реки и 54 км против течения за 6 часов. Этот катер проходит 44 км по течению на 3 часа быстрее чем 90 км против течения. Найдите собственную скорость катера и течения.

Рассмотрим задачу. Обозначим:

• $v$ — собственная скорость катера (в км/ч),
• $u$ — скорость течения реки (в км/ч).

Дано:

1. Катер проходит 66 км по течению и 54 км против течения за 6 часов.
2. Катер проходит 44 км по течению на 3 часа быстрее, чем 90 км против течения.

Для движения по течению и против течения используются следующие скорости:

• Скорость по течению: $v + u$,
• Скорость против течения: $v - u$.

Составим уравнения.

1. Уравнение для первого условия (общее время — 6 часов):

Время движения по течению: $\frac{66}{v + u}$,
Время движения против течения: $\frac{54}{v - u}$.

Суммарное время:

2. Уравнение для второго условия (разница времени):

Время для 44 км по течению: $\frac{44}{v + u}$,
Время для 90 км против течения: $\frac{90}{v - u}$.

Разница времени:

Теперь у нас есть система двух уравнений:

1. $\frac{66}{v + u} + \frac{54}{v - u} = 6,$
2. $\frac{90}{v - u} - \frac{44}{v + u} = 3.$

Решим систему.

Удобнее всего выразить дроби через общий знаменатель и решать систему.

Шаг 1. Упростим первое уравнение:

Приведем дроби к общему знаменателю $(v + u)(v - u)$:

Числитель:

Итак, первое уравнение становится:

Умножим на знаменатель:

Раскроем скобки:

Перепишем:

Шаг 2. Упростим второе уравнение:

Приведем дроби к общему знаменателю $(v + u)(v - u)$:

Числитель:

Итак, второе уравнение становится:

Умножим на знаменатель:

Раскроем скобки:

Перепишем:

Шаг 3. Решим систему уравнений (1') и (2').

Рассмотрим численные значения для упрощения.
Предположим $v = 18$, $u = 6$ и подставим в оба уравнения.

Для первого уравнения: