За 7 часов катер прошел 60 км по течению реки и 64 км против течения. В другой раз катер за 7 часов прошел 80 км по течению реки и 48 км против течения. Определите собственную скорость катера и скорость течения реки.

Для решения этой задачи используем систему уравнений, которая позволяет найти собственную скорость катера и скорость течения реки. Обозначим:

• $v$ — собственная скорость катера (в км/ч).
• $u$ — скорость течения реки (в км/ч).

Шаг 1. Формулировка уравнений

Когда катер движется по течению, его скорость относительно берега будет равна сумме собственной скорости катера и скорости течения реки. То есть:

• По течению: скорость = $v + u$.

Когда катер движется против течения, его скорость относительно берега будет равна разности собственной скорости катера и скорости течения реки:

• Против течения: скорость = $v - u$.

Задача даёт две ситуации, в которых катер преодолевает определённые расстояния за 7 часов.

Ситуация 1:

Катер прошел 60 км по течению и 64 км против течения за 7 часов. Таким образом, можно записать следующие уравнения:

1. Время, затраченное на движение по течению:

2. Время, затраченное на движение против течения:

Сумма этих времен равна 7 часам:

Ситуация 2:

Во второй раз катер прошел 80 км по течению и 48 км против течения за те же 7 часов. Для этой ситуации у нас будут следующие уравнения:

1. Время, затраченное на движение по течению:

2. Время, затраченное на движение против течения:

Сумма этих времен также равна 7 часам:

Шаг 2. Решение системы уравнений

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. $\frac{60}{v + u} + \frac{64}{v - u} = 7$
2. $\frac{80}{v + u} + \frac{48}{v - u} = 7$

Решим эту систему методом подбора или алгебраически.

Для удобства введём новые переменные:

• $x = v + u$ (скорость катера по течению),
• $y = v - u$ (скорость катера против течения).

Тогда у нас будет система:

Умножим первое уравнение на 80, а второе на 60, чтобы избавиться от дробей:

1. $\frac{4800}{x} + \frac{5120}{y} = 560$
2. $\frac{4800}{x} + \frac{2880}{y} = 420$

Теперь вычтем второе уравнение из первого:

Получаем:

Отсюда:

Теперь подставим $y = 16$ в одно из исходных уравнений, например, в первое:

Решим:

Шаг 3. Находим собственную скорость катера и скорость течения

Теперь, зная $x = v + u = 20$ и $y = v - u = 16$, можем решить систему:

Сложим эти два уравнения:

Теперь найдём скорость течения $u$: