Катер отправился в путь в 10 часов утра,прошел 8 км против течения реки и сделал остановку на 1 час.После этого он прошел еще 30 км по течению и прибыл в пункт назначения в 13 часов.Найдите собственную скорость катера,если скорость течения реки 2 км/ч

Для того чтобы решить эту задачу, давайте разобьем её на несколько этапов и учтем все данные, представленные в вопросе.

1. Понимание условий задачи:
   • Катер отправился в путь в 10:00.
   • Он прошел 8 км против течения, затем сделал остановку на 1 час.
   • После остановки катер продолжил путь по течению и прошел еще 30 км.
   • Катер прибыл в пункт назначения в 13:00.
   • Скорость течения реки составляет 2 км/ч.

Необходимо найти собственную скорость катера, то есть его скорость в стоячей воде, обозначим её как $v_{\text{катера}}$.

2. Запишем известные данные:

   • Скорость течения реки $v_{\text{течения}} = 2$ км/ч.
   • Время в пути — с 10:00 до 13:00, то есть 3 часа.
   • Катер прошел 8 км против течения и 30 км по течению.

3. Расчет времени на пути: Известно, что в сумме катер потратил 3 часа на весь путь, но в этом времени нужно учесть 1 час на остановку. Это означает, что реальное время движения катера равно:

   $$T_{\text{движ}} = 3 \text{ часа} - 1 \text{ час остановки} = 2 \text{ часа}.$$

4. Движение против течения: Когда катер движется против течения, его эффективная скорость уменьшается на скорость течения реки, то есть его скорость относительно земли будет $v_{\text{катера}} - v_{\text{течения}}$. Время, которое катер затратил на путь против течения:

   $$t_{\text{против}} = \frac{\text{расстояние}}{\text{скорость}} = \frac{8 \text{ км}}{v_{\text{катера}} - 2}.$$

5. Движение по течению: Когда катер движется по течению, его эффективная скорость увеличивается на скорость течения реки, то есть его скорость относительно земли будет $v_{\text{катера}} + v_{\text{течения}}$. Время, которое катер затратил на путь по течению:

   $$t_{\text{по}} = \frac{30 \text{ км}}{v_{\text{катера}} + 2}.$$

6. Уравнение времени: Общее время движения катера составляет 2 часа. Поэтому можем записать уравнение:

   $$t_{\text{против}} + t_{\text{по}} = 2.$$

   Подставим выражения для времени:

   $$\frac{8}{v_{\text{катера}} - 2} + \frac{30}{v_{\text{катера}} + 2} = 2.$$

7. Решение уравнения: Теперь решим это уравнение для $v_{\text{катера}}$.

   Приведем к общему знаменателю:

   $$\frac{8}{v_{\text{катера}} - 2} + \frac{30}{v_{\text{катера}} + 2} = \frac{8(v_{\text{катера}} + 2) + 30(v_{\text{катера}} - 2)}{(v_{\text{катера}} - 2)(v_{\text{катера}} + 2)}.$$

   Упростим числитель:

   $$8(v_{\text{катера}} + 2) = 8v_{\text{катера}} + 16,$$ $$30(v_{\text{катера}} - 2) = 30v_{\text{катера}} - 60.$$

   Сложим:

   $$8v_{\text{катера}} + 16 + 30v_{\text{катера}} - 60 = 38v_{\text{катера}} - 44.$$

   Д denominator:

   $$(v_{\text{катера}} - 2)(v_{\text{катера}} + 2) = v_{\text{катера}}^2 - 4.$$

   Таким образом, уравнение становится:

   $$\frac{38v_{\text{катера}} - 44}{v_{\text{катера}}^2 - 4} = 2.$$

   Умножим обе части на $v_{\text{катера}}^2 - 4$ и получим:

   $$38v_{\text{катера}} - 44 = 2(v_{\text{катера}}^2 - 4).$$

   Раскроем скобки:

   $$38v_{\text{катера}} - 44 = 2v_{\text{катера}}^2 - 8.$$