Корень(x+1) - 1 = корень(x - корень(x+8))

Решим уравнение: \(\sqrt{x+1} - 1 = \sqrt{x - \sqrt{x+8}}\).

Область допустимых значений: \(x \ge -1\) и \(x \ge \sqrt{x+8}\).

Возведём обе части в квадрат:
\((\sqrt{x+1} - 1)^2 = x - \sqrt{x+8}\)
\(x+1 - 2\sqrt{x+1} + 1 = x - \sqrt{x+8}\)
\(x + 2 - 2\sqrt{x+1} = x - \sqrt{x+8}\)
\(2 - 2\sqrt{x+1} = -\sqrt{x+8}\)
\(\sqrt{x+8} = 2\sqrt{x+1} - 2\).

Снова возведём в квадрат:
\(x+8 = (2\sqrt{x+1} - 2)^2 = 4(x+1) - 8\sqrt{x+1} + 4 = 4x+8 - 8\sqrt{x+1}\)
\(x+8 = 4x+8 - 8\sqrt{x+1}\)
\(x = 4x - 8\sqrt{x+1}\)
\(8\sqrt{x+1} = 3x\).

Возведём в квадрат: \(64(x+1) = 9x^2\)
\(9x^2 - 64x - 64 = 0\).

Решаем квадратное уравнение: \(D = 64^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-64) = 4096 + 2304 = 6400\), \(\sqrt{D} = 80\).
\(x_1 = \frac{64 + 80}{18} = 8\), \(x_2 = \frac{64 - 80}{18} = -\frac{8}{9}\).

Проверка: \(x = 8\) подходит: \(\sqrt{9} - 1 = 2\), \(\sqrt{8 - \sqrt{16}} = 2\). \(x = -\frac{8}{9}\) не подходит (под корнем отрицательное число).

Ответ: \(x = 8\).

0 0 Пожаловаться