Решите уравнение. ЧЕРЕЗ Дискрем.
5 sin^2 x - 7 sin x cos x + 4 cos^2 x= 1

Решим через дискриминант.

Дано уравнение:

\[5\sin^2 x-7\sin x\cos x+4\cos^2 x=1\]

Так как \(1=\sin^2 x+\cos^2 x\), перенесём всё влево:

\[5\sin^2 x-7\sin x\cos x+4\cos^2 x-\sin^2 x-\cos^2 x=0\]

\[4\sin^2 x-7\sin x\cos x+3\cos^2 x=0\]

Если \(\cos x=0\), то левая часть равна \(4\sin^2 x\), это не \(0\). Значит, можно разделить на \(\cos^2 x\):

\[4\tg^2 x-7\tg x+3=0\]

Пусть \(t=\tg x\). Получаем квадратное уравнение:

\[4t^2-7t+3=0\]

Дискриминант:

\[D=(-7)^2-4\cdot4\cdot3=49-48=1\]

Корни:

\[t_1=\frac{7+1}{8}=1\]

\[t_2=\frac{7-1}{8}=\frac{3}{4}\]

Значит:

\[\tg x=1\quad \text{или}\quad \tg x=\frac{3}{4}\]

Ответ:

\[x=\frac{\pi}{4}+\pi n\quad \text{или}\quad x=\arctg\frac{3}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z\]

0 0 Пожаловаться