4. Исследуйте функцию на четность у = x^3sin3x.​

Чтобы исследовать функцию $y = x^3 \sin(3x)$ на четность, воспользуемся определением четности и нечетности функции.

Определения:

1. Четная функция: $f(-x) = f(x)$ для всех $x$ из области определения.
2. Нечетная функция: $f(-x) = -f(x)$ для всех $x$ из области определения.
3. Если ни одно из условий не выполняется, то функция не является ни четной, ни нечетной.

Проверка функции:

Функция задана как $y = x^3 \sin(3x)$.

1. Найдем $y(-x)$, подставив $-x$ вместо $x$:

   $$y(-x) = (-x)^3 \sin(3(-x)) = -x^3 \sin(-3x).$$

2. Используем свойства:

   • $(-x)^3 = -(x^3)$,
   • $\sin(-\theta) = -\sin(\theta)$.

   Подставим это:

   $$y(-x) = -x^3 \cdot (-\sin(3x)) = -x^3 \sin(3x).$$

3. Сравним $y(-x)$ с $y(x)$:

   • Исходная функция: $y(x) = x^3 \sin(3x)$,
   • Найденное $y(-x) = -x^3 \sin(3x)$.

   Видно, что:

   $$y(-x) = -y(x).$$

Вывод:

Функция $y = x^3 \sin(3x)$ является нечетной, так как $y(-x) = -y(x)$.