Помогите найти условный экстремум функции методом множителей Лагранжа: z = 1/x + 1/y. Условие: x + y = 2.

Нужно найти условный экстремум функции

\[ z=\frac{1}{x}+\frac{1}{y} \]

при условии

\[ x+y=2. \]

Составим функцию Лагранжа:

\[ L=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\lambda(x+y-2). \]

Находим частные производные:

\[ \frac{\partial L}{\partial x}=-\frac{1}{x^2}+\lambda=0, \]

\[ \frac{\partial L}{\partial y}=-\frac{1}{y^2}+\lambda=0. \]

Отсюда:

\[ \frac{1}{x^2}=\frac{1}{y^2}. \]

Значит, \( x^2=y^2 \), то есть \( y=x \) или \( y=-x \).

По условию \( x+y=2 \). Если \( y=x \), то:

\[ 2x=2, \quad x=1, \quad y=1. \]

Если \( y=-x \), то \( x+y=0 \), это не подходит.

Значит, точка условного экстремума:

\[ (1;1). \]

Значение функции:

\[ z=\frac{1}{1}+\frac{1}{1}=2. \]

Ответ: условный минимум достигается в точке \( (1;1) \), значение \( z=2 \). Максимума на всей области нет.

0 0 Пожаловаться