Два тракториста, работая совместно, вспахали поле за 48 часов. Если бы половину поля вспахал один из них, а затем оставшуюся половину другой, то работа была бы выполнена за 100 часов. За сколько часов мог бы вспахать поле каждый тракторист, работая отдельно?

Задача состоит в том, чтобы найти, за сколько часов каждый тракторист может вспахать поле, работая отдельно, если они могут работать совместно и по отдельности, с разными условиями.

1. Обозначим переменные:

• Пусть $x$ — количество часов, которое первый тракторист тратит на вспахивание всего поля.
• Пусть $y$ — количество часов, которое второй тракторист тратит на вспахивание всего поля.

2. Совместная работа двух трактористов:

Когда оба тракториста работают вместе, они вспахивают поле за 48 часов. Это означает, что их совместная производительность — это сумма их производительностей:

• Производительность первого тракториста = $\frac{1}{x}$ поля в час.
• Производительность второго тракториста = $\frac{1}{y}$ поля в час.

Итак, их совместная производительность будет равна:

Это первое уравнение.

3. Условие, когда один тракторист делает половину работы:

Затем дано, что если первый тракторист вспахивает половину поля, а второй — вторую половину, то вся работа завершается за 100 часов. Рассмотрим это условие более подробно:

• Первый тракторист, чтобы вспахать половину поля, работает за $\frac{x}{2}$ часов.
• Второй тракторист, чтобы вспахать вторую половину поля, работает за $\frac{y}{2}$ часов.

Таким образом, суммарное время, которое требуется для того, чтобы оба тракториста выполнили свою работу, равно 100 часам:

Умножив обе части уравнения на 2, получаем:

Это второе уравнение.

4. Решение системы уравнений:

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{48}$,
2. $x + y = 200$.

Для удобства выразим $y$ через $x$ из второго уравнения:

Теперь подставим это выражение для $y$ в первое уравнение:

Чтобы решить это уравнение, нужно привести к общему знаменателю:

что упрощается до:

Теперь умножим обе стороны на $48x(200 - x)$, чтобы избавиться от дробей:

Это уравнение можно упростить:

или

Перепишем уравнение в стандартной форме:

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

Корни уравнения:

Таким образом, два корня:

5. Находим $y$:

Используя $x + y = 200$, для каждого из значений $x$ находим $y$:

• Если $x = 120$, то $y = 200 - 120 = 80$.
• Если $x = 80$, то $y = 200 - 80 = 120$.

6. Ответ:

Таким образом, первый тракторист может вспахать поле за 120 часов, а второй — за 80 часов.