Два землепашца Иван и Григорий могут вспахать поле за 12 часов. За сколько часов Григорий может вспахать всё поле, если Иван всю работу может сделать на 10 часов быстрее, чем Григорий?

Чтобы решить задачу, обозначим время, которое требуется Григорию для вспашки всего поля, как $x$ часов. Тогда Ивану для выполнения всей работы потребуется $x - 10$ часов, так как он делает это на 10 часов быстрее.

Поскольку Иван и Григорий вместе могут вспахать поле за 12 часов, их совместная производительность (доля работы, выполняемая ими за один час) составляет $\frac{1}{12}$ поля в час.

Теперь выразим производительность каждого землепашца отдельно:

1. Производительность Григория равна $\frac{1}{x}$, так как он может вспахать поле за $x$ часов.
2. Производительность Ивана равна $\frac{1}{x - 10}$, поскольку он может справиться с задачей за $x - 10$ часов.

Теперь составим уравнение на основе их совместной производительности:

Решим это уравнение:

1. Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:

   $$\frac{(x - 10) + x}{x(x - 10)} = \frac{1}{12}$$

   или

   $$\frac{2x - 10}{x(x - 10)} = \frac{1}{12}$$

2. Умножим обе части уравнения на $12x(x - 10)$, чтобы избавиться от знаменателей:

   $$12(2x - 10) = x(x - 10)$$

3. Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному виду:

   $$24x - 120 = x^2 - 10x$$ $$x^2 - 34x + 120 = 0$$

4. Решим квадратное уравнение $x^2 - 34x + 120 = 0$ с помощью дискриминанта:

   Дискриминант $D = (-34)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 120 = 1156 - 480 = 676$.

   $\sqrt{676} = 26$, значит, дискриминант положительный, и уравнение имеет два корня.

5. Найдем корни уравнения:

   $$x_1 = \frac{34 + 26}{2} = 30, \quad x_2 = \frac{34 - 26}{2} = 4$$

Поскольку время не может быть отрицательным, возьмем значение $x = 30$.

Таким образом, Григорию потребуется 30 часов, чтобы вспахать всё поле в одиночку.