По кругу написано 101 натуральное число. Докажите, что найдутся два соседних числа, сумма которых чётна.

Рассмотрим 101 натуральное число, записанное по кругу. Каждое число либо чётное, либо нечётное.

Сумма двух соседних чисел чётна тогда и только тогда, когда оба числа имеют одинаковую чётность: либо оба чётные, либо оба нечётные.

Предположим противное: что среди всех 101 пар соседних чисел ни одна не имеет чётной суммы. Тогда у каждой соседней пары числа разной чётности, то есть одно чётное, другое нечётное. Это означает, что по кругу чётность должна строго чередоваться: чётное, нечётное, чётное, нечётное и так далее.

Но при обходе круга из 101 числа мы вернёмся к исходному числу. Если чередование строго выполняется, то первое и последнее (соседние по кругу) должны иметь разную чётность. Однако при нечётном количестве элементов (101 — нечётное число) такое чередование невозможно: начиная с первого числа, мы после 100 шагов окажемся у числа противоположной чётности, а значит 101-е число должно совпасть по чётности с первым, чтобы замкнуть круг. Получается противоречие.

Следовательно, предположение неверно, и хотя бы одна пара соседних чисел имеет одинаковую чётность. Значит, найдутся два соседних числа, сумма которых чётна.