Сумма вертикальных углов АOB и COD, образованных при пересечении прямых АD и ВС, равна 108. Найдите углы AOC, COD, BOD, AOB.​

Решение

При пересечении двух прямых образуется четыре угла, которые попарно являются вертикальными. Вертикальные углы равны, и сумма углов вокруг точки пересечения равна $360^\circ$.

В задаче сказано, что сумма вертикальных углов $\angle AOB$ и $\angle COD$ равна $108^\circ$. Пусть $\angle AOB = x$ и $\angle COD = y$. Тогда:

Также, так как $\angle AOB$ и $\angle BOD$ образуют развернутый угол, их сумма равна $180^\circ$:

То же самое справедливо для углов $\angle COD$ и $\angle AOC$:

Теперь у нас есть следующие выражения для углов:

• $\angle AOB = x,$
• $\angle COD = y,$
• $\angle BOD = 180^\circ - x,$
• $\angle AOC = 180^\circ - y.$

Подставим значение $x + y = 108^\circ$ в уравнения для вычислений.

1. Если $x = 54^\circ$ (предположим равенство углов, так как точного распределения не указано), то $y = 108^\circ - 54^\circ = 54^\circ.$
2. Тогда:
   • $\angle AOB = 54^\circ,$
   • $\angle COD = 54^\circ,$
   • $\angle BOD = 180^\circ - 54^\circ = 126^\circ,$
   • $\angle AOC = 180^\circ - 54^\circ = 126^\circ.$

Ответ:

• $\angle AOB = 54^\circ,$
• $\angle COD = 54^\circ,$
• $\angle BOD = 126^\circ,$
• $\angle AOC = 126^\circ.$