Найдите точку минимума функции y= 2x - ln(x+3) + 7

Объясните решение.

Рассмотрим функцию
$y = 2x - \ln(x+3) + 7$.

1. Область определения

Логарифм определён только при положительном аргументе:
$x + 3 > 0 \Rightarrow x > -3$.

2. Найдём производную

Чтобы найти точки экстремума, вычислим производную:

3. Находим критические точки

Приравниваем производную к нулю:

Эта точка входит в область определения ($-2.5 > -3$), значит она подходит.

4. Проверка на минимум

Найдём вторую производную:

Она всегда положительна при $x > -3$, значит функция выпукла вверх на всей области определения. Следовательно, найденная критическая точка является точкой минимума.

5. Значение функции в точке минимума

Подставим $x = -\frac{5}{2}$:

Так как $\ln\left(\frac{1}{2}\right) = -\ln 2$, получаем:

Ответ:

Точка минимума функции: