Знаменник звичайного нескоротного дробу на 5 більший за чисельник. Якщо знаменник дробу збільшити на 6, а чисельник збільшити на 4, то дріб збільшиться на 1/4. Знайти початковий дріб.

Нехай чисельник початкового дробу дорівнює (x). Тоді знаменник, за умовою, на 5 більший:

[
x+5.
]

Початковий дріб:

[
\frac{x}{x+5}.
]

Після збільшення чисельника на 4 і знаменника на 6 отримаємо дріб:

[
\frac{x+4}{x+11}.
]

За умовою, новий дріб більший від початкового на (\frac14), тому:

[
\frac{x+4}{x+11}=\frac{x}{x+5}+\frac14.
]

Перенесемо перший дріб у ліву частину:

[
\frac{x+4}{x+11}-\frac{x}{x+5}=\frac14.
]

Зведемо дроби до спільного знаменника:

[
\frac{(x+4)(x+5)-x(x+11)}{(x+11)(x+5)}=\frac14.
]

Розкриємо дужки:

[
\frac{x^2+9x+20-x^2-11x}{(x+11)(x+5)}=\frac14.
]

[
\frac{20-2x}{(x+11)(x+5)}=\frac14.
]

Перемножимо навхрест:

[
4(20-2x)=(x+11)(x+5).
]

[
80-8x=x^2+16x+55.
]

[
x^2+24x-25=0.
]

Знайдемо корені:

[
D=24^2-4\cdot1\cdot(-25)=576+100=676,
]

[
\sqrt{D}=26.
]

[
x=\frac{-24\pm26}{2}.
]

[
x_1=1,\qquad x_2=-25.
]

Чисельник дробу має бути додатним, тому (x=1).

Тоді знаменник:

[
1+5=6.
]

Отже, початковий нескоротний дріб:

[
\boxed{\frac16}.
]

Перевірка:

[
\frac{1+4}{6+6}=\frac5{12},
]

[
\frac5{12}-\frac16=\frac5{12}-\frac2{12}=\frac3{12}=\frac14.
]

Умова виконується.