Найдите сумму всех иррациональных чисел x, обладающих свойством, что x²+x и x²+2x являются целыми числами.

По условию задачи числа $x^2+x$ и $x^2+2x$ являются целыми, причём $x$ должно быть иррациональным.

Решение.

Поскольку оба выражения являются целыми числами, обозначим их через $m$ и $n$:

Вычтем первое равенство из второго:

После упрощения получаем:

Так как $m$ и $n$ — целые числа, их разность также является целым числом. Следовательно,

Но любое целое число является рациональным, поскольку его можно представить в виде дроби со знаменателем 1.

Таким образом, мы получили противоречие с условием, согласно которому $x$ должно быть иррациональным.

Вывод: иррациональных чисел, удовлетворяющих обоим условиям, не существует. Следовательно, сумма всех таких чисел является суммой пустого множества, которая по определению равна нулю.

Ответ: