Решите уравнение √3х^2+5х+8=3+x

Для того чтобы решить уравнение $\sqrt{3x^2 + 5x + 8} = 3 + x$, давайте шаг за шагом преобразуем его.

1. Квадрат обеих частей уравнения:

   Чтобы избавиться от квадратного корня, возведем обе части уравнения в квадрат:

   $$\left( \sqrt{3x^2 + 5x + 8} \right)^2 = (3 + x)^2$$

   Получаем:

   $$3x^2 + 5x + 8 = (3 + x)^2$$

   Раскрываем скобки на правой стороне:

   $$3x^2 + 5x + 8 = 9 + 6x + x^2$$

2. Переносим все на одну сторону:

   Переносим все выражения на одну сторону уравнения, чтобы привести его к стандартному виду:

   $$3x^2 + 5x + 8 - 9 - 6x - x^2 = 0$$

   Упрощаем:

   $$(3x^2 - x^2) + (5x - 6x) + (8 - 9) = 0$$

   Получаем:

   $$2x^2 - x - 1 = 0$$

3. Решаем квадратное уравнение:

   Теперь у нас есть квадратное уравнение:

   $$2x^2 - x - 1 = 0$$

   Решаем его с помощью формулы для решения квадратных уравнений:

   $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

   Здесь $a = 2$, $b = -1$, $c = -1$. Подставляем значения в формулу:

   $$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(2)(-1)}}{2(2)}$$ $$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4}$$ $$x = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{4}$$ $$x = \frac{1 \pm 3}{4}$$

   Получаем два возможных значения для $x$:

   $$x_1 = \frac{1 + 3}{4} = \frac{4}{4} = 1$$ $$x_2 = \frac{1 - 3}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$$

4. Проверка на extraneous solutions (посторонние решения):

   Нужно проверить, не является ли одно из найденных решений посторонним (то есть не подходящим для исходного уравнения). Подставим оба найденных значения в исходное уравнение.

   • Для $x = 1$:

     $$\sqrt{3(1)^2 + 5(1) + 8} = \sqrt{3 + 5 + 8} = \sqrt{16} = 4$$

     Правая часть уравнения: $3 + 1 = 4$. Это верно, значит $x = 1$ — решение.

   • Для $x = -\frac{1}{2}$:

     $$\sqrt{3\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 5\left(-\frac{1}{2}\right) + 8} = \sqrt{3\left(\frac{1}{4}\right) - \frac{5}{2} + 8}$$