В остроугольном треугольнике ABC угол B равен 60°. Докажите, что точки A, C, центр описанной окружности треугольника ABC и точка пересечения высот треугольника ABC лежат на одной окружности.

Обозначим центр описанной окружности через \(O\), а точку пересечения высот — через \(H\).

Так как \(\angle ABC=60^\circ\), центральный угол, опирающийся на хорду \(AC\), равен:

\[\angle AOC=2\angle ABC=120^\circ.\]

Для точки пересечения высот треугольника известно:

\[\angle AHC=180^\circ-\angle ABC=180^\circ-60^\circ=120^\circ.\]

Получили, что \(\angle AOC=\angle AHC\). Эти углы опираются на один и тот же отрезок \(AC\), значит, точки \(A\), \(C\), \(O\) и \(H\) лежат на одной окружности.

0 0 Пожаловаться