Найдите функцию, обратную к функции y=(x-8)^-1
Указать её Область Определения и множество значений

Чтобы найти обратную функцию к $y = (x - 8)^{-1}$, давайте разберемся шаг за шагом.

1. Исходная функция:

   $y = (x - 8)^{-1}$, что также можно записать как:

   $$y = \frac{1}{x - 8}$$

2. Преобразуем функцию для нахождения обратной:

   Для нахождения обратной функции, нам нужно выразить $x$ через $y$. Начнем с того, что заменим $y$ на $f(x)$:

   $$f(x) = \frac{1}{x - 8}$$

   Теперь выразим $x$ через $y$:

   $$y = \frac{1}{x - 8}$$

   Умножим обе части уравнения на $x - 8$:

   $$y(x - 8) = 1$$

   Раскроем скобки:

   $$yx - 8y = 1$$

   Из этого уравнения выразим $x$:

   $$yx = 8y + 1$$ $$x = \frac{8y + 1}{y}$$

3. Получаем обратную функцию:

   Обратная функция будет выглядеть так:

   $$f^{-1}(y) = \frac{8y + 1}{y}$$

   Или, эквивалентно:

   $$f^{-1}(x) = \frac{8x + 1}{x}$$

4. Область определения обратной функции:

   Область определения функции $y = (x - 8)^{-1}$ — это все значения $x$, кроме $x = 8$, так как при $x = 8$ функция не определена (деление на ноль). Это также ограничивает область значений обратной функции: обратная функция будет определена для всех значений $x$, кроме $x = 0$, поскольку при $x = 0$ в формуле для $f^{-1}(x)$ возникает деление на ноль.

   Таким образом, область определения обратной функции:

   $$x \neq 0$$

5. Множество значений обратной функции:

   Поскольку исходная функция $y = \frac{1}{x - 8}$ имеет множество значений, состоящее из всех действительных чисел, кроме нуля (так как она не может принимать значение $0$ при любом $x$), то множество значений обратной функции будет равно всем действительным числам, кроме нуля.

   Таким образом, множество значений обратной функции:

   $$y \neq 0$$

Итак, обратная функция к $y = (x - 8)^{-1}$ — это:

Область определения: $x \neq 0$.
Множество значений: $y \neq 0$.