Велосипедист проехал 90 км из одного города в другой и вернулся обратно. На обратной дороге его скорость была больше на 2 км/ч. Поэтому на обратный путь он затратил на полчаса меньше. Найдите общее время поездки велосипедиста.

Для того чтобы решить задачу, давайте обозначим несколько переменных и построим систему уравнений.

1. Обозначения:

   • Пусть скорость велосипедиста на пути из первого города в другой будет равна $v$ км/ч.
   • Тогда скорость на обратном пути (из второго города в первый) будет $v + 2$ км/ч, так как на обратной дороге скорость была на 2 км/ч больше.
   • Расстояние между городами равно 90 км, так что в обоих направлениях расстояние одно и то же.

2. Время в пути:

   • Время, затраченное на путь из первого города в другой, можно найти по формуле: время = расстояние / скорость. То есть: $$t_1 = \frac{90}{v} \text{ часов}.$$
   • Время, затраченное на обратный путь, также по той же формуле: $$t_2 = \frac{90}{v + 2} \text{ часов}.$$
   • Из условия задачи известно, что на обратный путь велосипедист затратил на 30 минут (или 0,5 часа) меньше. То есть: $$t_1 - t_2 = 0.5.$$

3. Составим уравнение: Подставим выражения для $t_1$ и $t_2$ в уравнение:

   $$\frac{90}{v} - \frac{90}{v + 2} = 0.5.$$

   Чтобы решить это уравнение, умножим обе части на $v(v + 2)$ (общий знаменатель):

   $$90(v + 2) - 90v = 0.5 \cdot v(v + 2).$$

   Упростим:

   $$90v + 180 - 90v = 0.5v(v + 2),$$ $$180 = 0.5v(v + 2).$$

   Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от 0.5:

   $$360 = v(v + 2).$$

   Раскроем скобки:

   $$360 = v^2 + 2v.$$

   Приведем уравнение к стандартному виду:

   $$v^2 + 2v - 360 = 0.$$

4. Решение квадратного уравнения: Решим это квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта. Для уравнения $v^2 + 2v - 360 = 0$ дискриминант:

   $$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-360) = 4 + 1440 = 1444.$$

   Тогда корни уравнения:

   $$v = \frac{-2 \pm \sqrt{1444}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm 38}{2}.$$

   Получаем два корня:

   $$v = \frac{-2 + 38}{2} = 18 \quad \text{или} \quad v = \frac{-2 - 38}{2} = -20.$$

   Так как скорость не может быть отрицательной, принимаем $v = 18$ км/ч.

5. Подсчитаем общее время поездки: Теперь, зная скорость на пути в один город (18 км/ч), можно найти время в пути для каждого из направлений.

   • Время на путь в первый город: $$t_1 = \frac{90}{18} = 5 \text{ часов}.$$
   • Время на обратный путь: $$t_2 = \frac{90}{18 + 2} = \frac{90}{20} = 4.5 \text{ часов}.$$

   Общее время поездки:

   $$t_{\text{общ}} = t_1 + t_2 = 5 + 4.5 = 9.5 \text{ часов}.$$

Таким образом, общее время поездки велосипедиста составило 9,5 часов.