Из города А в город Б, расстояние между которыми 45 км, выехал мотоциклист. Прибыв в город Б он тут же отправился назад и проехав 54 км от начала пути остановился у шлагбаума на 5 минут. Для того чтобы прибыть в начальный пункт в назначеное время, он увеличил скорость на 6 км/ч. Найти первоначальную скорость мотоциклиста.

Помогите пожалуйста!

Давайте решим задачу шаг за шагом.

Итак, у нас есть мотоциклист, который поехал из города А в город Б (расстояние между ними 45 км), потом отправился обратно и остановился на 5 минут у шлагбаума через 54 км от точки отправления. Затем он увеличил скорость на 6 км/ч, чтобы успеть вернуться в начальный пункт в нужное время.

Обозначим:

• $v$ — первоначальная скорость мотоциклиста (в км/ч).
• $t_1$ — время, которое он потратил на путь от города А до города Б.
• $t_2$ — время, которое он потратил на путь от города Б до точки, где он остановился у шлагбаума.
• $t_3$ — время, которое мотоциклист потратит после увеличения скорости.

1. Путь из города А в город Б

Расстояние между городами 45 км. Путь мотоциклист проехал со скоростью $v$, то есть время $t_1$ на этот путь равно:

2. Путь от города Б до шлагбаума

После того как мотоциклист прибыл в город Б, он отправился обратно и проехал 54 км, из которых 45 км — это путь обратно в город А, а еще 9 км — это путь после того, как он покинул город А и двигался к шлагбауму.

Значит, на этот путь он тоже двигался с той же скоростью $v$, и время $t_2$, которое он потратил на путь от города Б до шлагбаума, равно:

Но после того как он проехал 54 км, он остановился на 5 минут у шлагбаума. Переводим 5 минут в часы:

Итак, время с учетом остановки:

3. Увеличение скорости

Теперь мотоциклист увеличил скорость на 6 км/ч, то есть его новая скорость стала $v + 6$ км/ч. Чтобы успеть вернуться в начальную точку вовремя, он должен был уменьшить время на возвращение на 5 минут. Обозначим время, которое он потратит на оставшийся путь, как $t_3$.

Расстояние от точки шлагбаума до города А равно 45 км. Со скоростью $v + 6$, время $t_3$ на оставшийся путь будет равно:

4. Сравнение времени

Общее время, которое мотоциклист должен потратить, чтобы вернуться в начальный пункт вовремя, равно времени, которое он потратил на путь из города А в город Б, плюс время пути от города Б до шлагбаума, плюс время пути от шлагбаума в город А. Учитывая, что на пути от города Б до шлагбаума он остановился на 5 минут, это время можно записать как:

Если бы он не увеличил скорость, его время возвращения составило бы:

Поскольку мотоциклист должен вернуться в пункт назначения в назначенное время, разница между временем без увеличения скорости и временем с увеличенной скоростью равна 5 минутам, или $\frac{1}{12}$ часа. Таким образом, у нас есть уравнение:

Подставим выражения для $t_1$, $t_2'$ и $t_2$ в это уравнение:

Упростим уравнение:

Теперь вычитаем одинаковые выражения с обеих сторон: