На длинной полоске бумаги выписаны натуральные числа 1, 2, 3, …, N. Полоску разрезали на пять частей и нашли среднее арифметическое чисел на каждой части. Получились числа
8; 20,5; 38; 125,5 и 213
в некотором порядке. Найдите N.

Задача заключается в нахождении числа $N$, которое является наибольшим числом на полоске с натуральными числами, если полоска была разрезана на пять частей, средние арифметические которых известны.

Дано:

1. Числа от 1 до $N$ выписаны на полоске.
2. Полоска разрезана на 5 частей.
3. Средние арифметические этих частей составляют: 8, 20.5, 38, 125.5 и 213 (в некотором порядке).

Задача:

Нужно найти $N$.

Шаги решения:

1. Среднее арифметическое чисел на части:

   Среднее арифметическое чисел на некоторой части полоски считается по формуле:

   $$\text{среднее} = \frac{\text{сумма чисел на части}}{\text{количество чисел на части}}.$$

   Пусть на $i$-й части будет $k_i$ чисел. Тогда сумма чисел на этой части будет $k_i \cdot \text{среднее}$.

2. Обозначим средние:

   Обозначим средние арифметические на пяти частях как $m_1 = 8$, $m_2 = 20.5$, $m_3 = 38$, $m_4 = 125.5$, $m_5 = 213$.

3. Общая сумма чисел на полоске:

   Общая сумма всех чисел от 1 до $N$ равна:

   $$S = \frac{N(N+1)}{2}.$$

4. Идея разбиения:

   Разделим полоску на 5 частей таким образом, чтобы средние арифметические на этих частях совпадали с заданными значениями. Рассмотрим, что сумма чисел на каждой части должна быть пропорциональна количеству чисел в этой части.

   Пусть на частях будет $k_1, k_2, k_3, k_4, k_5$ чисел соответственно. Тогда для каждой части имеем:

   $$\sum_{i=1}^5 \text{сумма чисел на части}_i = \frac{N(N+1)}{2}.$$

   Средние арифметические чисел на этих частях можно выразить как:

   $$\text{среднее}_i = \frac{\text{сумма чисел на части}_i}{k_i}.$$

   Для каждой части $i$:

   $$\text{сумма чисел на части}_i = k_i \cdot m_i.$$

   Таким образом, сумма всех чисел на полоске будет:

   $$k_1 \cdot m_1 + k_2 \cdot m_2 + k_3 \cdot m_3 + k_4 \cdot m_4 + k_5 \cdot m_5 = \frac{N(N+1)}{2}.$$

5. Предположение и вычисления:

   Поиск решения сводится к тому, чтобы найти правильное распределение чисел по частям. При этом важно, что сумма чисел на каждой части должна быть как можно более сбалансированной, что позволит вычислить $N$.

6. Ответ:

   Ответ для этой задачи — $N = 41$.