Докажите, что если х – у – z = 0, то x (уz + 1) – у ( х z+ 1) - z (ху + 1) = - хуz

Рассмотрим утверждение: если $x - y - z = 0$, то необходимо доказать, что

Доказательство

1. Начальное уравнение: У нас дано:

   $$x - y - z = 0.$$

   Перепишем его:

   $$x = y + z.$$

2. Подстановка в левую часть: Подставим $x = y + z$ в выражение

   $$x(yz + 1) - y(xz + 1) - z(xy + 1).$$

   Раскроем скобки:

   $$x(yz + 1) = x \cdot yz + x.$$ $$-y(xz + 1) = -y \cdot xz - y.$$ $$-z(xy + 1) = -z \cdot xy - z.$$

   Объединяя, получаем:

   $$x \cdot yz + x - y \cdot xz - y - z \cdot xy - z.$$

3. Подстановка $x = y + z$: Теперь подставляем $x = y + z$ в каждое слагаемое:

   • $x \cdot yz = (y + z) \cdot yz = y^2z + yz^2$,
   • $x = y + z$,
   • $-y \cdot xz = -y \cdot (y + z) \cdot z = -y^2z - yz^2$,
   • $-y = -y$,
   • $-z \cdot xy = -z \cdot (y + z) \cdot y = -zy^2 - z^2y$,
   • $-z = -z$.

4. Объединение всех слагаемых: Подставляем всё обратно:

   $$(y^2z + yz^2) + (y + z) - (y^2z + yz^2) - y - (zy^2 + z^2y) - z.$$

   Сгруппируем одинаковые члены:

   • $y^2z + yz^2$ и $-y^2z - yz^2$ сокращаются,
   • $y - y$ сокращается,
   • $z - z$ сокращается,
   • остаётся только $-zy^2 - z^2y$.

   Заметим, что это можно записать как:

   $$-yz \cdot y - yz \cdot z = -yz(y + z).$$

5. Упрощение: Используем, что $x = y + z$, тогда $y + z = x$, и выражение становится:

   $$-yz \cdot x.$$

   Заметим, что это равно $-xyz$.

Итог:

Таким образом, мы доказали, что: