Решите уравнение 2sin2x – 3cosx-3=0. (sin в квадрате)Укажите корни, принадлежащие отрезку [п;3п].

Решим уравнение $2\sin^2{x} - 3\cos{x} - 3 = 0$, где корни должны принадлежать отрезку $[ \pi; 3\pi ]$.

1. Замена $\sin^2{x}$ через $\cos^2{x}$:

Используем основное тригонометрическое тождество:

Подставляем это в уравнение:

2. Приведение к квадратному уравнению:

Раскроем скобки и упростим:

Домножим обе части на $-1$, чтобы избавиться от минуса перед $\cos^2{x}$:

3. Решение квадратного уравнения:

Пусть $\cos{x} = t$, тогда уравнение становится:

Решим его по формуле корней квадратного уравнения:

где $a = 2$, $b = 3$, $c = 1$. Подставляем значения:

Рассчитаем два корня:

Итак, $\cos{x} = -\frac{1}{2}$ или $\cos{x} = -1$.

4. Найдём значения $x$ на отрезке $[ \pi; 3\pi ]$:

Рассмотрим каждое значение $t$ ($\cos{x}$).

Случай 1: $\cos{x} = -\frac{1}{2}$

$\cos{x} = -\frac{1}{2}$ достигается при:

Значение $\cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$. Подставим: