В треугольнике АВС угол А на 50° больше угла В, а угол С составляет пятую часть их суммы. Найдите

Ответы на вопрос

Отвечает Феоктистова Виктория.

Рассмотрим задачу о нахождении углов, которые образует биссектриса угла $A$ с стороной $BC$ . Для этого начнем с определения всех углов треугольника.

Обозначим угол $\angle B$ через $x$ . Тогда угол $\angle A$ , который на $50^\circ$ больше угла $\angle B$ , равен:

\angle A = x + 50^\circ.

Угол $\angle C$ составляет пятую часть их суммы:

\angle C = \frac{1}{5} (\angle A + \angle B) = \frac{1}{5} \left( x + (x + 50^\circ) \right) = \frac{1}{5} (2x + 50^\circ).

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$ . Подставим все углы:

\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ.

Подставим выражения углов:

(x + 50^\circ) + x + \frac{1}{5}(2x + 50^\circ) = 180^\circ.

Приведем подобные:

2x + 50^\circ + \frac{2x}{5} + \frac{50^\circ}{5} = 180^\circ.

Приведем дроби к общему знаменателю:

2x + \frac{10x}{5} + 50^\circ + \frac{50^\circ}{5} = 180^\circ.

\frac{10x + 10x}{5} + \frac{250^\circ}{5} = 180^\circ.

\frac{20x + 250^\circ}{5} = 180^\circ.

Умножим на $5$ , чтобы убрать знаменатель:

20x + 250^\circ = 900^\circ.

20x = 650^\circ.

x = 32.5^\circ.

Теперь мы можем найти все углы:

\angle B = x = 32.5^\circ,

\angle A = x + 50^\circ = 32.5^\circ + 50^\circ = 82.5^\circ,

\angle C = \frac{1}{5}(2x + 50^\circ) = \frac{1}{5}(2 \cdot 32.5^\circ + 50^\circ) = \frac{1}{5}(65^\circ + 50^\circ) = \frac{1}{5}(115^\circ) = 23^\circ.

Биссектриса угла $A$ делит его на две равные части. Значит, каждый из образовавшихся углов равен:

\frac{\angle A}{2} = \frac{82.5^\circ}{2} = 41.25^\circ.

По теореме о биссектрисе, углы, которые образует биссектриса с сторонами треугольника, равны:

\text{угол между биссектрисой и } BC = \angle B + \frac{\angle A}{2},

В треугольнике АВС угол А на 50° больше угла В, а угол С составляет пятую часть их суммы. Найдите углы, которые образует биссектриса угла А со стороной ВС.