Решить уравнение:
Sin2x/ sin(7п/2 - x) = корень из 2
Найти корни, принадлежащие [2п;7п/2]

Для решения уравнения $\frac{\sin(2x)}{\sin\left(\frac{7\pi}{2} - x\right)} = \sqrt{2}$ начнем с упрощения выражения.

Шаг 1: Упростим знаменатель

Используем формулу для синуса:

Зная, что $\sin\left(\frac{7\pi}{2}\right) = 1$ и $\cos\left(\frac{7\pi}{2}\right) = 0$, мы получаем:

Шаг 2: Подставим в уравнение

Теперь подставим это обратно в уравнение:

Умножим обе стороны на $\cos(x)$ (при условии, что $\cos(x) \neq 0$):

Шаг 3: Используем двойную угловую формулу для синуса

Заменим $\sin(2x)$ на $2 \sin(x) \cos(x)$:

Теперь, если $\cos(x) \neq 0$, можем разделить обе стороны на $\cos(x)$:

Отсюда:

Шаг 4: Находим корни уравнения

Значение $\sin(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ имеет два решения в пределах $0 \leq x < 2\pi$:

Шаг 5: Учет заданного диапазона

Теперь найдем корни в заданном диапазоне $[2\pi; \frac{7\pi}{2}]$. Начнем с $k = 0$:

1. Для $x = \frac{\pi}{4}$ не попадает в диапазон.
2. Для $x = \frac{3\pi}{4}$ также не попадает.

Теперь для $k = 1$:

1. Для $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4}$ попадает в диапазон.
2. Для $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{11\pi}{4}$ также попадает в диапазон.

Теперь проверим $k = 2$:

1. Для $x = \frac{\pi}{4} + 4\pi = \frac{17\pi}{4}$ не попадает в диапазон.
2. Для $x = \frac{3\pi}{4} + 4\pi = \frac{19\pi}{4}$