Помогите решить дифур

Решение дифференциальных уравнений (дифуров) зависит от их вида. Давайте начнем с определения конкретного типа уравнения, так как подходы к решению существенно отличаются в зависимости от сложности и типа дифференциального уравнения.

1. Обычные дифференциальные уравнения первого порядка

Если уравнение имеет вид:

возможные подходы:

a. Уравнение с разделяющимися переменными

Если уравнение можно переписать в виде:

то его решают следующим образом:

1. Интегрируем обе части: $$\int \frac{1}{g(y)} \, dy = \int f(x) \, dx.$$
2. Находим общее решение, выражая $y$ через $x$.

b. Линейное уравнение

Если уравнение линейное, т.е. имеет вид:

решение ищется методом интегрирующего множителя:

1. Вычисляем интегрирующий множитель: $$\mu(x) = e^{\int P(x) \, dx}.$$
2. Умножаем обе части уравнения на $\mu(x)$: $$\mu(x) \frac{dy}{dx} + \mu(x)P(x)y = \mu(x)Q(x).$$
3. Преобразуем левую часть в полную производную: $$\frac{d}{dx}[\mu(x)y] = \mu(x)Q(x).$$
4. Интегрируем обе части: $$\mu(x)y = \int \mu(x)Q(x) \, dx + C,$$ где $C$ — константа интегрирования.
5. Выражаем $y$.

c. Однородное уравнение

Если $f(x, y)$ является однородной функцией, используем замену $y = vx$, чтобы упростить уравнение до уравнения с разделяющимися переменными.

2. Уравнения второго порядка

Если уравнение имеет вид:

возможны следующие подходы:

a. Линейное уравнение с постоянными коэффициентами

Если $P(x)$, $Q(x)$ и $R(x)$ — константы:

то характерное уравнение имеет вид:

Решения зависят от корней характеристического уравнения:

1. Два разных корня $r_1$, $r_2$: $$y(x) = C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x}.$$
2. Два совпадающих корня $r_1 = r_2$: $$y(x) = (C_1 + C_2x)e^{r_1x}.$$
3. Комплексные корни $r_{1,2} = \alpha \pm i\beta$: $$y(x) = e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x + C_2\sin\beta x).$$

b. Метод вариации постоянных

Для уравнений с правой частью $R(x) \neq 0$, находят общее решение однородного уравнения и добавляют частное решение для $R(x)$.

3. Пример

Рассмотрим уравнение первого порядка с разделяющимися переменными:

1. Разделяем переменные: $$\frac{dy}{y} = 2x \, dx.$$
2. Интегрируем: $$\int \frac{1}{y} \, dy = \int 2x \, dx \implies \ln|y| = x^2 + C.$$