Построить график функции y=2sinx+1. При каких значениях х функция возрастает? Убывает?

Чтобы построить график функции $y = 2 \sin x + 1$ и определить, при каких значениях $x$ она возрастает и убывает, разберем её подробно.

Шаг 1: Исследование функции $y = 2 \sin x + 1$

Эта функция — это синусоида, модифицированная коэффициентами:

1. $2$ перед $\sin x$ означает, что амплитуда увеличена в 2 раза по сравнению с обычной функцией $\sin x$.
2. Сдвиг $+1$ поднимает график функции на 1 единицу вверх по оси $y$.

Основные характеристики функции:

• Амплитуда: $2$. Это максимальное отклонение функции от среднего уровня, то есть функция будет колебаться от $-1$ до $3$ по оси $y$.
• Период: $2\pi$, как и у обычного синуса, поскольку множитель перед $x$ не изменен.
• Смещение по оси $y$: на 1 единицу вверх.

Шаг 2: Построение графика

Функция $y = 2 \sin x + 1$ колеблется в диапазоне от $-1$ до $3$ по оси $y$ и имеет период $2\pi$. Вот ключевые точки, которые можно использовать для построения графика на интервале одного периода $[0, 2\pi]$:

1. При $x = 0$: $$y = 2 \sin(0) + 1 = 1$$
2. При $x = \frac{\pi}{2}$: $$y = 2 \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + 1 = 2 \cdot 1 + 1 = 3$$
3. При $x = \pi$: $$y = 2 \sin(\pi) + 1 = 1$$
4. При $x = \frac{3\pi}{2}$: $$y = 2 \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) + 1 = 2 \cdot (-1) + 1 = -1$$
5. При $x = 2\pi$: $$y = 2 \sin(2\pi) + 1 = 1$$

Эти точки можно использовать, чтобы отметить пики, спады и нули функции на графике.

Шаг 3: Интервалы возрастания и убывания функции

Для определения интервалов возрастания и убывания рассмотрим производную функции $y = 2 \sin x + 1$.

1. Найдём производную: $$y' = 2 \cos x$$
2. Исследуем знак производной:
   • Функция возрастает, когда $y' > 0$, то есть $\cos x > 0$.
   • Функция убывает, когда $y' < 0$, то есть $\cos x < 0$.

Теперь определим интервалы:

• Возрастание: $\cos x > 0$ на интервалах $( -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k )$, где $k \in \mathbb{Z}$.
• Убывание: $\cos x < 0$ на интервалах $( \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k )$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Для промежутка $[0, 2\pi]$ это означает:

• Функция возрастает на интервале $(0, \pi)$.
• Функция убывает на интервале $(\pi, 2\pi)$.

Вывод

Функция $y = 2 \sin x + 1$:

• Колеблется от $-1$ до $3$.
• Имеет период $2\pi$.
• Возрастает на интервале $(0, \pi)$ и убывает на интервале $(\pi, 2\pi)$.

Таким образом, при построении графика можно отметить эти ключевые интервалы возрастания и убывания, что поможет в визуализации её поведения.