Туристы за первый час прошли 3 км. Если бы они продолжали двигаться с той же скоростью, то опоздали бы к месту сбора на 40 мин, поэтому они увеличили скорость на 1/3 и пришли к месту сбора за 45 мин до назначенного срока. Какое расстояние прошли туристы до места сбора и за какое время?

Для решения задачи обозначим:

• $S$ — расстояние до места сбора (в км),
• $V$ — скорость туристов в первый час (в км/ч),
• $T$ — общее время, за которое туристы должны были пройти расстояние $S$ (в часах).

Шаг 1. Запишем данные:

1. Туристы прошли первые 3 км за 1 час, т.е. их начальная скорость $V = 3$ км/ч.
2. Если бы они продолжали двигаться с этой скоростью $V$, то опоздали бы на 40 минут, или $\frac{2}{3}$ часа.
3. Увеличив скорость на $\frac{1}{3} V$, они пришли на 45 минут (или $\frac{3}{4}$ часа) раньше.

Таким образом, общее время их движения составляет $T - \frac{3}{4}$, где $T$ — время, за которое туристы должны были прибыть к месту сбора.

Шаг 2. Выражаем время движения.

Общее время, которое туристы потратили, можно разделить на две части:

1. Первый час они прошли 3 км с начальной скоростью $V = 3$ км/ч.
2. Оставшееся расстояние $S - 3$ они прошли со скоростью $V + \frac{1}{3}V = \frac{4}{3}V = 4$ км/ч.

Время, затраченное на вторую часть пути:

Общее время пути туристов:

Шаг 3. Выражаем время при начальной скорости.

Если бы туристы двигались с начальной скоростью $V = 3$ км/ч всё время, то затраченное время составило бы:

По условию задачи, если бы они двигались с этой скоростью, то опоздали бы на $\frac{2}{3}$ часа:

Отсюда:

Шаг 4. Составляем систему уравнений.

Из уравнений выше имеем две ключевые зависимости:

1. $T - \frac{3}{4} = 1 + \frac{S - 3}{4}$,
2. $\frac{S}{3} = T + \frac{2}{3}$.

Решим эту систему.

Упрощаем первое уравнение:

Подставляем $T$ во второе уравнение:

Приведём к общему знаменателю (знаменатель 12):

Убираем знаменатель:

Шаг 5. Находим время $T$