найдите точки минимума  y=25/x+x+25

Распишите подробно, у меня не получается найти производную

Чтобы найти точки минимума функции $y = \frac{25}{x} + x + 25$, нужно следовать стандартному алгоритму для нахождения экстремумов функции. Вот пошаговое решение:

1. Найдите производную функции

Функция $y = \frac{25}{x} + x + 25$ состоит из трёх слагаемых:

• $\frac{25}{x}$,
• $x$,
• и константа 25.

Производную от константы $25$ мы знаем: она равна 0. Осталось найти производные от первых двух частей.

Производная от $\frac{25}{x}$:

Используем правило: $\frac{d}{dx}\left(\frac{C}{x}\right) = -\frac{C}{x^2}$, где $C$ — это константа. Значит,

Производная от $x$:

Производная от $x$ равна 1.

Итак, полная производная:

2. Найдите критические точки

Критические точки функции находятся там, где производная равна нулю или не существует. Запишем уравнение для равенства производной нулю:

Решим уравнение:

Перенесём $-\frac{25}{x^2}$ в правую часть:

Умножим обе части на $x^2$ (при $x \neq 0$):

Возьмём корень из обеих частей:

Производная не существует при $x = 0$, но в этой точке функция $y$ тоже не определена (деление на ноль). Поэтому $x = 0$ исключаем из анализа.

3. Определите характер критических точек (минимум или максимум)

Для проверки характера критической точки используем второй производной или анализ знаков первой производной.

Анализ знаков первой производной:

Запишем производную ещё раз:

Рассмотрим промежутки:

• $x \in (-\infty, -5)$,
• $x \in (-5, 0)$,
• $x \in (0, 5)$,
• $x \in (5, \infty)$.

На каждом из них исследуем знак $y'$:

• Если $x > 5$, $y' = -\frac{25}{x^2} + 1 < 0$ (убывает).
• Слева .