Найдите производную функции f (x) = ln sqrt cosx.

Для того чтобы найти производную функции $f(x) = \ln(\sqrt{\cos x})$, нужно выполнить несколько шагов, используя правила дифференцирования.

1. Упростим выражение:

   Функция в виде $\ln(\sqrt{\cos x})$ может быть преобразована. Вспоминаем, что $\sqrt{\cos x} = (\cos x)^{1/2}$. Таким образом, наша функция принимает вид:

   $$f(x) = \ln((\cos x)^{1/2})$$

2. Используем свойство логарифмов:

   Логарифм степени можно упростить с помощью свойства логарифмов: $\ln(a^b) = b \cdot \ln(a)$. Применим это свойство:

   $$f(x) = \frac{1}{2} \ln(\cos x)$$

   Теперь функция выглядит как $f(x) = \frac{1}{2} \ln(\cos x)$.

3. Нахождение производной:

   Для нахождения производной применим цепное правило. Производная от $\ln(u)$, где $u$ — функция от $x$, равна $\frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dx}$. В нашем случае $u = \cos x$, поэтому:

   $$\frac{d}{dx} \left( \ln(\cos x) \right) = \frac{1}{\cos x} \cdot (-\sin x) = -\frac{\sin x}{\cos x}$$

4. Не забываем про множитель $\frac{1}{2}$:

   У нас есть множитель $\frac{1}{2}$ перед логарифмом, поэтому производная будет равна:

   $$f'(x) = \frac{1}{2} \cdot \left( -\frac{\sin x}{\cos x} \right)$$

   Таким образом, производная функции:

   $$f'(x) = -\frac{1}{2} \cdot \tan x$$

Ответ: производная функции $f(x) = \ln(\sqrt{\cos x})$ равна $f'(x) = -\frac{1}{2} \cdot \tan x$.