Найдите производную функции f(x) = cos log2x.

Для нахождения производной функции $f(x) = \cos(\log_2(x))$, нам потребуется воспользоваться правилами дифференцирования сложных функций, а также знанием производной косинуса и логарифмических функций. Давайте разберем решение пошагово:

Шаг 1: Запишем функцию

Наша функция имеет вид:

Здесь $\log_2(x)$ — это логарифм по основанию 2 от $x$.

Шаг 2: Применим формулу логарифма

Для упрощения вычислений заменим логарифм по основанию 2 натуральным логарифмом:

Тогда функция примет вид:

Шаг 3: Используем правило производной сложной функции

Производная косинуса $\cos(u)$ по переменной $u$ равна $-\sin(u) \cdot u'$. Здесь $u = \frac{\ln(x)}{\ln(2)}$.

Запишем производную:

Шаг 4: Найдём производную $\left(\frac{\ln(x)}{\ln(2)}\right)'$

Выражение $\frac{\ln(x)}{\ln(2)}$ — это константа $\frac{1}{\ln(2)}$ умноженная на $\ln(x)$. Производная $\ln(x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$. Таким образом:

Шаг 5: Подставляем найденную производную

Теперь подставим найденное значение в выражение для производной:

Шаг 6: Запишем окончательный результат

Таким образом, производная функции $f(x) = \cos(\log_2(x))$ равна:

Вывод

Для нахождения производной функции $f(x) = \cos(\log_2(x))$ мы использовали формулы для производных сложных функций, производную косинуса и логарифмических функций. Итоговый результат выглядит как выражение, содержащее синус натурального логарифма, делённого на константу $\ln(2)$, и знаменатель $x \ln(2)$.