Решите уравнение 25 ctg^2 x - 18 cos^2 x = 12

Ответы на вопрос

Отвечает Берлибек Асыл.

Решим уравнение $25 \cot^2 x - 18 \cos^2 x = 12$ .

Шаг 1. Запишем формулы и выражения

Напомним, что:

\cot^2 x = \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}.

Подставим это в уравнение:

25 \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} - 18 \cos^2 x = 12.

Обозначим $\cos^2 x = y$ , где $y \in [0, 1]$ , так как $\cos^2 x$ не может быть отрицательной. Тогда $\sin^2 x = 1 - y$ по основному тригонометрическому тождеству $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ .

Шаг 2. Подстановка

Подставим $\cos^2 x = y$ и $\sin^2 x = 1 - y$ в уравнение:

25 \frac{y}{1 - y} - 18y = 12.

Упростим дробь:

\frac{25y}{1 - y} - 18y = 12.

Приведем всё к общему знаменателю $1 - y$ :

\frac{25y - 18y(1 - y)}{1 - y} = 12.

Раскроем скобки в числителе:

\frac{25y - 18y + 18y^2}{1 - y} = 12.

Соберём подобные члены:

\frac{18y^2 + 7y}{1 - y} = 12.

Шаг 3. Устранение дроби

Умножим обе части уравнения на $1 - y$ (предполагая, что $y \neq 1$ ):

18y^2 + 7y = 12(1 - y).

Раскроем скобки:

18y^2 + 7y = 12 - 12y.

Перенесём всё в одну сторону:

18y^2 + 7y + 12y - 12 = 0.

Соберём подобные члены:

18y^2 + 19y - 12 = 0.

Шаг 4. Решение квадратного уравнения

Решим квадратное уравнение $18y^2 + 19y - 12 = 0$ с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = 19^2 - 4 \cdot 18 \cdot (-12).

Посчитаем:

D = 361 + 864 = 1225.

Найдём корни:

y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-19 \pm \sqrt{1225}}{2 \cdot 18}.

y_{1,2} = \frac{-19 \pm 35}{36}.

Рассчитаем отдельно два корня:

y_1 = \frac{-19 + 35}{36} = \frac{16}{36} = \frac{4}{9},

y_2 = \frac{-19 - 35}{36} = \frac{-54}{36} = -\frac{3}{2}.

Похожие вопросы