Решите уравнение 25 ctg^2 x - 18 cos^2 x = 12

Решим уравнение $25 \cot^2 x - 18 \cos^2 x = 12$.

Шаг 1. Запишем формулы и выражения

Напомним, что:

Подставим это в уравнение:

Обозначим $\cos^2 x = y$, где $y \in [0, 1]$, так как $\cos^2 x$ не может быть отрицательной. Тогда $\sin^2 x = 1 - y$ по основному тригонометрическому тождеству $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$.

Шаг 2. Подстановка

Подставим $\cos^2 x = y$ и $\sin^2 x = 1 - y$ в уравнение:

Упростим дробь:

Приведем всё к общему знаменателю $1 - y$:

Раскроем скобки в числителе:

Соберём подобные члены:

Шаг 3. Устранение дроби

Умножим обе части уравнения на $1 - y$ (предполагая, что $y \neq 1$):

Раскроем скобки:

Перенесём всё в одну сторону:

Соберём подобные члены:

Шаг 4. Решение квадратного уравнения

Решим квадратное уравнение $18y^2 + 19y - 12 = 0$ с помощью дискриминанта:

Посчитаем:

Найдём корни:

Рассчитаем отдельно два корня: