ctg x>0

ctgx<0

tg x> корень из 3

ctg x>корень из 3

Чтобы понять, что означают данные неравенства с тригонометрическими функциями, давайте разберём каждое из них по отдельности.

1. ctg(x) > 0
   Это неравенство говорит о том, что косеканс угла $x$ (или, эквивалентно, котангенс угла) должен быть положительным. Котангенс угла — это отношение косинуса угла к синусу угла.
   $\text{ctg}(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}$.
   Чтобы котангенс был положительным, нужно, чтобы $\cos(x)$ и $\sin(x)$ имели одинаковые знаки. Это происходит, когда угол $x$ находится в первом или третьем квадранте (где оба числа либо положительные, либо отрицательные).

   Таким образом, неравенство $\text{ctg}(x) > 0$ выполняется для углов $x$, которые лежат в интервалах:

   $$(n\pi, (n+1)\pi) \quad \text{для} \quad n \in \mathbb{Z}.$$

   То есть для всех углов, где $x$ принадлежит промежуткам между $n\pi$ и $(n+1)\pi$, где $n$ — целое число.

2. ctg(x) < 0
   Это неравенство говорит о том, что котангенс угла должен быть отрицательным. Чтобы это выполнялось, $\cos(x)$ и $\sin(x)$ должны иметь противоположные знаки. Это происходит во втором и четвёртом квадрантах.

   То есть неравенство $\text{ctg}(x) < 0$ выполняется для углов $x$, которые лежат в интервалах:

   $$\left( (n-1)\pi, n\pi \right) \quad \text{для} \quad n \in \mathbb{Z}.$$

   Это промежутки, в которых котангенс отрицателен.

3. tg(x) > $\sqrt{3}$
   Это неравенство описывает, что тангенс угла $x$ должен быть больше $\sqrt{3}$. Тангенс угла — это отношение синуса к косинусу угла:

   $$\text{tg}(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}.$$

   Из таблицы значений тригонометрических функций известно, что $\text{tg}(x) = \sqrt{3}$ при угле $x = \frac{\pi}{3}$ (в радианах).
   Значение тангенса больше $\sqrt{3}$ будет при углах, превышающих $\frac{\pi}{3}$, но меньше, чем $\frac{2\pi}{3}$, в первом периоде. В общем случае это выполняется для углов из интервалов вида:

   $$\left( \frac{\pi}{3} + n\pi, \frac{2\pi}{3} + n\pi \right) \quad \text{для} \quad n \in \mathbb{Z}.$$

   Это те промежутки, где тангенс угла больше $\sqrt{3}$.

4. ctg(x) > $\sqrt{3}$
   Это неравенство требует, чтобы котангенс угла был больше $\sqrt{3}$. Мы знаем, что $\text{ctg}(x) = \frac{1}{\text{tg}(x)}$, и если $\text{ctg}(x) > \sqrt{3}$, то $\text{tg}(x) < \frac{1}{\sqrt{3}}$.
   Тангенс угла будет меньше $\frac{1}{\sqrt{3}}$ при углах в промежутках между углами $\frac{\pi}{6}$ и $\frac{5\pi}{6}$ в первом периоде. Таким образом, неравенство $\text{ctg}(x) > \sqrt{3}$ будет выполняться в интервалах вида:

   $$\left( n\pi, \frac{\pi}{6} + n\pi \right) \quad \text{для} \quad n \in \mathbb{Z}.$$

   Это промежутки, где котангенс больше $\sqrt{3}$.

Итак, для каждого из этих неравенств можно определить соответствующие интервалы на единичной окружности, в которых выполняются эти условия.