Найдите произведение целых корней уравнения
|x^2-2x-15|+|x^2-8x+12|=6x-27.

Давайте решим уравнение $|x^2 - 2x - 15| + |x^2 - 8x + 12| = 6x - 27$ пошагово.

Шаг 1: Изучаем выражения под модулями

У нас есть два модуля: $|x^2 - 2x - 15|$ и $|x^2 - 8x + 12|$. Чтобы решить уравнение, нужно разобраться с тем, когда каждый из этих модулей будет положительным, а когда отрицательным. Это зависит от знака выражений внутри модулей, а именно от их корней.

Модуль 1: $|x^2 - 2x - 15|$

Для начала найдем корни квадратного выражения $x^2 - 2x - 15 = 0$. Это можно сделать с помощью дискриминанта.

Дискриминант:

Корни уравнения:

Таким образом, корни: $x_1 = \frac{2 + 8}{2} = 5$ и $x_2 = \frac{2 - 8}{2} = -3$.

Значит, выражение $x^2 - 2x - 15$ меняет знак при $x = -3$ и $x = 5$.

Модуль 2: $|x^2 - 8x + 12|$

Теперь найдем корни второго квадратного выражения $x^2 - 8x + 12 = 0$.

Дискриминант:

Корни уравнения:

Таким образом, корни: $x_1 = \frac{8 + 4}{2} = 6$ и $x_2 = \frac{8 - 4}{2} = 2$.

Значит, выражение $x^2 - 8x + 12$ меняет знак при $x = 2$ и $x = 6$.

Шаг 2: Разбираем случаи для модуля

Теперь мы можем разбить задачу на несколько случаев в зависимости от значений $x$, которые определяют знаки выражений под модулями.

Случай 1: $x \leq -3$

Когда $x \leq -3$, оба выражения под модулями будут отрицательными:

Тогда уравнение принимает вид:

Упростим это уравнение:

Переносим все на одну сторону: