Объясните пожалуйста, как решить уравнения по комбинаторике!

1. (Px+1/Px-1) = 30 2. (Px/Px-2) = 42

Для решения данных уравнений нужно учитывать, что символ $P(n)$ обозначает число перестановок из $n$ объектов, то есть $P(n) = n!$, где $n!$ — это факториал числа $n$, то есть произведение всех целых чисел от 1 до $n$. Таким образом, ваши уравнения сводятся к соотношению между факториалами.

1. Уравнение $\frac{P(x+1)}{P(x-1)} = 30$

Преобразуем это уравнение, используя определение факториала:

Подставляем это в уравнение:

Теперь упростим выражение. Вспоминаем, что $(x+1)! = (x+1) \cdot x \cdot (x-1)!$, и подставляем это:

Так как $(x-1)!$ сокращается, получаем:

Теперь раскрываем скобки и решаем квадратное уравнение:

Решаем это уравнение с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

где $a = 1$, $b = 1$, $c = -30$. Подставляем значения:

Таким образом, получаем два возможных значения:

Так как $x$ должно быть положительным числом (так как это количество объектов для перестановок), то $x = 5$.

2. Уравнение $\frac{P(x)}{P(x-2)} = 42$

Используем аналогичный подход. Подставим факториалы:

Таким образом, уравнение принимает вид:

Упростим это выражение, как и в предыдущем случае. Мы знаем, что $x! = x \cdot (x-1) \cdot (x-2)!$, поэтому:

Сокращаем $(x-2)!$, получаем:

Теперь раскрываем скобки и решаем квадратное уравнение: