Катер прошёл 20 км вверх по реке и 30 км вниз, затратив на весь путь 2ч .Какова скорость течения реки, если скорость катера в стоячей воде 25 км в час?

Задача сводится к нахождению скорости течения реки. Чтобы её вычислить, разобьем задачу на части.

Условия задачи:

• Катер прошёл 20 км вверх по реке и 30 км вниз.
• Общее время, затраченное на весь путь, равно 2 часам.
• Скорость катера в стоячей воде = 25 км/ч.

Обозначим:

• Скорость течения реки — $v$ км/ч.
• Скорость катера вверх по реке — $25 - v$ км/ч (катер движется против течения, поэтому его скорость уменьшается на величину скорости течения).
• Скорость катера вниз по реке — $25 + v$ км/ч (катер движется по течению, и его скорость увеличивается на величину скорости течения).

Время на каждом участке пути:

• Время, затраченное на движение вверх по реке, можно найти по формуле $t = \frac{s}{v}$, где $s$ — расстояние, $v$ — скорость. Таким образом, время на движение вверх по реке: $$t_{\text{вверх}} = \frac{20}{25 - v}$$
• Время, затраченное на движение вниз по реке, будет: $$t_{\text{вниз}} = \frac{30}{25 + v}$$

Сумма времени:

Общее время на весь путь составило 2 часа, следовательно:

Решим это уравнение:

1. Умножим обе части уравнения на $(25 - v)(25 + v)$, чтобы избавиться от знаменателей: $$20(25 + v) + 30(25 - v) = 2(25^2 - v^2)$$
2. Раскроем скобки: $$20 \cdot 25 + 20v + 30 \cdot 25 - 30v = 2(625 - v^2)$$ $$500 + 20v + 750 - 30v = 1250 - 2v^2$$ $$1250 - 10v = 1250 - 2v^2$$
3. Упростим уравнение: $$-10v = -2v^2$$ Разделим обе стороны на -2: $$5v = v^2$$
4. Переносим все в одну сторону: $$v^2 - 5v = 0$$
5. Выносим $v$ за скобки: $$v(v - 5) = 0$$
6. Получаем два возможных решения: $v = 0$ или $v = 5$.

Интерпретация решений:

• $v = 0$ — это решение не имеет смысла, потому что река должна иметь некоторое течение.
• $v = 5$ км/ч — это и есть искомая скорость течения реки.

Ответ:

Скорость течения реки составляет 5 км/ч.