Катер прошел 24 км против течения реки и 16 км по течению , затратив на весь путь 3 часа. Найдите скорость катера в стоячей воде, если скорость течения реки 2 км/ч.

Для решения задачи введем обозначения:

• $v_k$ — скорость катера в стоячей воде (км/ч);
• $v_r = 2$ км/ч — скорость течения реки;
• $t = 3$ часа — общее время пути.

Шаг 1. Запишем скорости катера:

• При движении против течения: скорость катера относительно берега будет равна $v_k - v_r$ (потому что течение замедляет катер).
• При движении по течению: скорость катера относительно берега будет равна $v_k + v_r$ (течение помогает катеру).

Шаг 2. Найдем время движения:

• Время движения против течения: $t_1 = \frac{S_1}{v_k - v_r}$, где $S_1 = 24$ км — расстояние против течения.
• Время движения по течению: $t_2 = \frac{S_2}{v_k + v_r}$, где $S_2 = 16$ км — расстояние по течению.

Шаг 3. Учитываем общее время: По условию, $t_1 + t_2 = 3$ часа. Подставляем выражения для $t_1$ и $t_2$:

Шаг 4. Приведем к общему знаменателю: Общий знаменатель равен $(v_k - 2)(v_k + 2)$. Приводим дроби к общему знаменателю:

Раскроем скобки в числителе:

Сложим и упрощаем:

Шаг 5. Приведем уравнение к стандартному виду:

Шаг 6. Решим квадратное уравнение: Используем формулу корней квадратного уравнения:

где $a = 3$, $b = -40$, $c = -28$.

Находим дискриминант:

Корень из дискриминанта:

Найдем корни:

Рассчитываем корни:

1. $v_k = \frac{40 + 44}{6} = \frac{84}{6} = 14$