при каких значения параметра p уравнение x^2 -2(p+3)x+16=0 имеет хотя бы один корень

Рассмотрим уравнение:

Для того чтобы квадратное уравнение имело хотя бы один корень, его дискриминант должен быть неотрицательным ($D \geq 0$).

Шаг 1. Запишем дискриминант.

Квадратное уравнение имеет вид:

где $a = 1$, $b = -2(p+3)$, $c = 16$. Формула для дискриминанта:

Подставим значения $a$, $b$, $c$ в формулу:

Упростим выражение:

Шаг 2. Найдем условия для $D \geq 0$.

Для того чтобы уравнение имело хотя бы один корень, нужно:

Разделим обе стороны на 4:

Шаг 3. Решим неравенство.

Перепишем неравенство:

Теперь решим это квадратное неравенство. Оно выполняется, когда:

Упростим оба случая:

1. $p+3 \leq -4 \implies p \leq -7$,
2. $p+3 \geq 4 \implies p \geq 1$.

Шаг 4. Запишем окончательный ответ.

Для того чтобы уравнение $x^2 - 2(p+3)x + 16 = 0$ имело хотя бы один корень, параметр $p$ должен удовлетворять следующему условию: