Остаток от деления числа A на 3 равен 1 , а от деления на 7 равен 5. Чему равен остаток от деления числа А на 21?

Задача сводится к нахождению числа $A$, которое при делении на 3 дает остаток 1, а при делении на 7 — остаток 5, и затем вычислению остатка от деления этого числа на 21.

Мы имеем следующие условия:

1. $A \mod 3 = 1$ — остаток от деления числа $A$ на 3 равен 1.
2. $A \mod 7 = 5$ — остаток от деления числа $A$ на 7 равен 5.

Нам нужно найти остаток от деления $A$ на 21, то есть $A \mod 21$.

Решим эту задачу с помощью системы сравнений. Пусть $A = 3k + 1$, где $k$ — некоторое целое число. Это выражение удовлетворяет первому условию, так как остаток от деления $A$ на 3 равен 1.

Теперь подставим $A = 3k + 1$ во второе условие $A \mod 7 = 5$:

Преобразуем это уравнение:

Теперь нам нужно решить это сравнение для $k$. Для этого нужно найти обратный элемент к 3 по модулю 7. Мы ищем число, которое при умножении на 3 дает остаток 1 по модулю 7. Проверим возможные варианты:

Таким образом, обратный элемент к 3 по модулю 7 — это 5. Умножим обе части уравнения $3k \equiv 4 \mod 7$ на 5:

То есть $k = 7m + 6$ для некоторого целого числа $m$.

Теперь подставим это значение $k$ в выражение для $A$:

Таким образом, $A \equiv 19 \mod 21$.

Ответ: остаток от деления числа $A$ на 21 равен 19.