Найти остаток от числа:
(7*2^161+5*18^75):17

Чтобы найти остаток от числа $\frac{7 \cdot 2^{161} + 5 \cdot 18^{75}}{17}$, используем модульную арифметику.

Шаг 1: Разделим выражение на два компонента

Нам нужно найти остаток от двух выражений по модулю 17 и сложить их:

Компонент 1: $7 \cdot 2^{161} \bmod 17$

1. Найдем $2^{161} \bmod 17$: Используем малую теорему Ферма, согласно которой для простого числа $p$ и любого числа $a$, не делящегося на $p$:

   $$a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}.$$

   Здесь $a = 2$ и $p = 17$, значит:

   $$2^{16} \equiv 1 \pmod{17}.$$

   Разделим показатель степени 161 на 16:

   $$161 = 16 \cdot 10 + 1.$$

   Следовательно:

   $$2^{161} = 2^{16 \cdot 10 + 1} = (2^{16})^{10} \cdot 2^1 \equiv 1^{10} \cdot 2 \equiv 2 \pmod{17}.$$

2. Учитываем коэффициент 7:

   $$7 \cdot 2^{161} \equiv 7 \cdot 2 \equiv 14 \pmod{17}.$$

Компонент 2: $5 \cdot 18^{75} \bmod 17$

1. Упростим $18^{75} \bmod 17$: Заметим, что $18 \equiv 1 \pmod{17}$. Тогда:

   $$18^{75} \equiv 1^{75} \equiv 1 \pmod{17}.$$

2. Учитываем коэффициент 5:

   $$5 \cdot 18^{75} \equiv 5 \cdot 1 \equiv 5 \pmod{17}.$$

Шаг 2: Сложим результаты

Теперь объединяем результаты:

Остаток от деления 19 на 17 равен:

Ответ:

Остаток от деления $7 \cdot 2^{161} + 5 \cdot 18^{75}$ на 17 равен 2.