Диагональ осевого сечения цилиндра равна 8 дм и составляет с образующей угол 60 градусов. найдите объем цилиндра и его полную поверхность?

Чтобы решить задачу, давайте детально разберём её шаги.

Дано:

1. Диагональ осевого сечения цилиндра $d = 8 \, \text{дм}$.
2. Угол между диагональю осевого сечения и образующей $\alpha = 60^\circ$.

Нужно найти:

1. Объём цилиндра $V$.
2. Полную поверхность цилиндра $S_\text{полн}$.

1. Основные формулы:

• Радиус основания цилиндра: $r$.
• Высота цилиндра: $h$.
• Образующая цилиндра: $l$ (совпадает с высотой в данном случае).
• Объём цилиндра: $$V = \pi r^2 h$$
• Полная поверхность цилиндра: $$S_\text{полн} = 2\pi r^2 + 2\pi r h$$

2. Построение осевого сечения:

Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник с высотой $h$ и диагональю $d$. Также из условия известно, что угол между диагональю $d$ и образующей $h$ равен $\alpha = 60^\circ$.

Воспользуемся тригонометрическими соотношениями для прямоугольного треугольника:

Из первого уравнения находим высоту:

Из второго уравнения находим радиус:

3. Находим объём цилиндра:

Подставляем найденные значения $r$ и $h$ в формулу объёма:

4. Находим полную поверхность цилиндра:

Полная поверхность цилиндра состоит из:

• Двух оснований (площадь каждого: $\pi r^2$);
• Боковой поверхности (площадь: $2\pi r h$).

Площадь оснований:

Площадь боковой поверхности:

Полная поверхность:

Ответ:

1. Объём цилиндра: $$V = 48\pi \, \text{дм}^3.$$
2. Полная поверхность цилиндра: $$S_\text{полн} = \pi (24 + 16\sqrt{3}) \, \text{дм}^2.$$