По течению реки катер прошел 70км ,а  против течения - 35км , причем на путь по течению он затратил на  ч больше ,чем на путь против течения . Какова собственная скорость катера , если скорость реки 2 км/ч ?

Решим задачу, обозначив неизвестные и применив основные формулы, связанные с движением катера по течению и против течения реки.

1. Обозначим:

   • Пусть $V$ — собственная скорость катера (в км/ч), которую нам нужно найти.
   • Скорость течения реки $V_{\text{реки}} = 2$ км/ч.
   • Время, затраченное катером на движение против течения реки, обозначим $t$ (в часах).
   • По условию известно, что на путь по течению катер затратил на $t + 1$ часов больше, чем против течения.

2. Скорости катера по и против течения:

   • Скорость катера по течению реки: $V + 2$ км/ч.
   • Скорость катера против течения реки: $V - 2$ км/ч.

3. Запишем уравнения для времени в пути по и против течения:

   • Время на путь по течению: $\frac{70}{V + 2}$.
   • Время на путь против течения: $\frac{35}{V - 2}$.

   По условию, катер затратил на путь по течению на 1 час больше, чем на путь против течения. Запишем это в виде уравнения:

   $$\frac{70}{V + 2} = \frac{35}{V - 2} + 1$$

4. Решим уравнение: Перенесем $\frac{35}{V - 2}$ в левую часть уравнения:

   $$\frac{70}{V + 2} - \frac{35}{V - 2} = 1$$

   Приведем к общему знаменателю:

   $$\frac{70(V - 2) - 35(V + 2)}{(V + 2)(V - 2)} = 1$$

   Раскроем скобки в числителе:

   $$\frac{70V - 140 - 35V - 70}{(V + 2)(V - 2)} = 1$$

   Упростим числитель:

   $$\frac{35V - 210}{(V + 2)(V - 2)} = 1$$

   Теперь умножим обе части на знаменатель $(V + 2)(V - 2)$:

   $$35V - 210 = (V + 2)(V - 2)$$

   Раскроем скобки на правой стороне:

   $$35V - 210 = V^2 - 4$$

   Перенесем все члены на одну сторону уравнения:

   $$V^2 - 35V + 206 = 0$$

5. Решаем квадратное уравнение:

   Уравнение $V^2 - 35V + 206 = 0$ решим через дискриминант:

   $$D = (-35)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 206 = 1225 - 824 = 401$$

   Найдем корни:

   $$V = \frac{35 \pm \sqrt{401}}{2}$$

   Приблизительно, $\sqrt{401} \approx 20.02$, тогда:

   $$V_1 = \frac{35 + 20.02}{2} \approx 27.51$$ $$V_2 = \frac{35 - 20.02}{2} \approx 7.49$$

6. Выбор подходящего корня:

   Собственная скорость катера должна быть больше скорости течения реки (2 км/ч) и достаточно высокой для того, чтобы катер мог двигаться по и против течения на указанные расстояния. Оба значения подходят, но если учесть логически наиболее вероятное значение, принимаем $V \approx 27.5$ км/ч