В геометрической прогрессии произведение третьего и пятого её членов равно 7 1/9. Найдите знаменатель прогрессии и сумму первых семи её членов, если b3*b7=28 4/9

Для решения этой задачи, начнем с определения основных свойств геометрической прогрессии. В геометрической прогрессии каждый член получается умножением предыдущего на некоторое постоянное число, называемое знаменателем прогрессии. Обозначим первый член прогрессии как $b_1$, а знаменатель как $q$. Тогда любой член прогрессии можно выразить как $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

У нас есть два условия:

1. $b_3 \cdot b_5 = 7 \frac{1}{9}$
2. $b_3 \cdot b_7 = 28 \frac{4}{9}$

Выразим $b_3$ и $b_5$ через $b_1$ и $q$:

• $b_3 = b_1 \cdot q^2$
• $b_5 = b_1 \cdot q^4$

Теперь подставим их в первое условие: $b_1 \cdot q^2 \cdot b_1 \cdot q^4 = \frac{64}{9}$ $b_1^2 \cdot q^6 = \frac{64}{9}$ $q^6 = \frac{64}{9 \cdot b_1^2}$

Аналогично, для $b_3$ и $b_7$:

• $b_3 = b_1 \cdot q^2$
• $b_7 = b_1 \cdot q^6$

Подставляем во второе условие: $b_1 \cdot q^2 \cdot b_1 \cdot q^6 = 28 \frac{4}{9}$ $b_1^2 \cdot q^8 = \frac{256}{9}$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. $b_1^2 \cdot q^6 = \frac{64}{9}$
2. $b_1^2 \cdot q^8 = \frac{256}{9}$

Деление второго уравнения на первое даст нам: $\frac{b_1^2 \cdot q^8}{b_1^2 \cdot q^6} = \frac{\frac{256}{9}}{\frac{64}{9}}$ $q^2 = 4$ $q = \pm 2$

Так как знаменатель прогрессии обычно положителен, выберем $q = 2$.

Теперь найдем $b_1$, используя одно из уравнений, например первое: $b_1^2 \cdot 2^6 = \frac{64}{9}$