Если утроить 2-ой член арифметической прогрессии и к результату прибавить 4-ый член, то получится число 10. Выясни, какая должна быть разность прогрессии, чтобы значение произведения 3-го и 5-го членов прогрессии было самым маленьким из возможных

Для решения задачи воспользуемся свойствами арифметической прогрессии (АП). Пусть $a_1$ - первый член АП, а $d$ - разность прогрессии. Тогда члены АП определяются как:

• Второй член: $a_2 = a_1 + d$
• Третий член: $a_3 = a_1 + 2d$
• Четвертый член: $a_4 = a_1 + 3d$
• Пятый член: $a_5 = a_1 + 4d$

По условию задачи известно, что если утроить второй член и прибавить к нему четвертый, получится 10. То есть:

$3(a_1 + d) + (a_1 + 3d) = 10$

Раскроем скобки и приведем подобные:

$3a_1 + 3d + a_1 + 3d = 10$ $4a_1 + 6d = 10$ $2a_1 + 3d = 5$ - (1)

Теперь рассмотрим произведение третьего и пятого членов:

$a_3 \times a_5 = (a_1 + 2d) \times (a_1 + 4d)$

Раскроем скобки:

$a_3 \times a_5 = a_1^2 + 6a_1d + 8d^2$

Чтобы это произведение было минимальным, нужно минимизировать выражение $a_1^2 + 6a_1d + 8d^2$. Это квадратичная функция по $d$, и минимум достигается в вершине параболы. Координата $d$ вершины параболы для функции вида $f(d) = Ad^2 + Bd + C$ находится по формуле $d = -\frac{B}{2A}$. В нашем случае:

$d = -\frac{6a_1}{2 \times 8} = -\frac{3a_1}{8}$ - (2)

Чтобы найти $a_1$ и $d$, нужно решить систему уравнений, состоящую из уравнений (1) и (2). Подставим выражение для $d$ из (2) в (1):

$2a_1 + 3 \left( -\frac{3a_1}{8} \right) = 5$ $2a_1 - \frac{9a_1}{8} = 5$ $\frac{16a_1 - 9a_1}{8} = 5$ $7a_1 = 40$ $a_1 = \frac{40}{7}$

Теперь найдем $d$ из (2), подставив значение $a_1$:

$d = -\frac{3 \times \frac{40}{7}}{8} = -\frac{15}{7}$

Таким образом, разность арифметической прогрессии, при которой произведение третьего и пятого членов будет минимальным, равна $-\frac{15}{7}$.