Поезд задержался в пути на 30 минут.чтобы прибыть по расписанию машинист на отрезке пути 80 км увеличил скорость на 8 км/ч. Какова начальная скорость поезда?

Задача сводится к тому, чтобы найти начальную скорость поезда, учитывая, что машинист увеличил скорость на 8 км/ч на участке пути в 80 км, чтобы компенсировать задержку.

1. Обозначим начальную скорость поезда как $v_0$ (в км/ч).

2. Пусть время, которое поезд должен был бы потратить на весь путь без задержки, равно $t_0$. Если бы поезд не увеличивал скорость, он бы прошел 80 км за время $t_0 = \frac{80}{v_0}$ часов.

3. Теперь учтем, что поезд действительно ехал на участке 80 км с увеличенной скоростью $v_0 + 8$ км/ч. Время, затраченное на этот участок, будет равно $t_1 = \frac{80}{v_0 + 8}$.

4. Учитывая, что поезд задержался на 30 минут (или 0,5 часа), время, затраченное на остальную часть пути, увеличилось на 0,5 часа. Если бы поезд двигался с постоянной начальной скоростью, его время в пути по всему маршруту составило бы $t_0 + t_2$, где $t_2$ — время, которое поезд затратил на оставшийся путь.

5. Уравнение для компенсации задержки будет таким:

   $$t_0 - t_1 = 0,5$$

   Подставляем выражения для времени $t_0$ и $t_1$:

   $$\frac{80}{v_0} - \frac{80}{v_0 + 8} = 0,5$$

6. Умножим обе части уравнения на $v_0(v_0 + 8)$, чтобы избавиться от знаменателей:

   $$80(v_0 + 8) - 80v_0 = 0,5v_0(v_0 + 8)$$

7. Упростим уравнение:

   $$80v_0 + 640 - 80v_0 = 0,5v_0^2 + 4v_0$$ $$640 = 0,5v_0^2 + 4v_0$$

8. Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дробей:

   $$1280 = v_0^2 + 8v_0$$

9. Перепишем это уравнение в стандартной форме:

   $$v_0^2 + 8v_0 - 1280 = 0$$

10. Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Дискриминант $D$ для уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ вычисляется по формуле:

    $$D = b^2 - 4ac$$

    Здесь $a = 1$, $b = 8$, $c = -1280$:

    $$D = 8^2 - 4(1)(-1280) = 64 + 5120 = 5184$$

11. Теперь найдем корни уравнения с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

    $$v_0 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$ $$v_0 = \frac{-8 \pm \sqrt{5184}}{2}$$ $$v_0 = \frac{-8 \pm 72}{2}$$

12. Получаем два возможных значения для скорости:

    $$v_0 = \frac{-8 + 72}{2} = \frac{64}{2} = 32 \quad \text{или} \quad v_0 = \frac{-8 - 72}{2} = \frac{-80}{2} = -40$$