Поезд был задержан в пути на 1 час. Увеличив скорость на 30 км/ч, он через 3 ч прибыл на станцию по расписанию. Какова средняя скорость поезда до остановки?

Рассмотрим задачу подробно и разберем её пошагово.

Дано:

1. Поезд был задержан на 1 час.
2. Чтобы компенсировать задержку, поезд увеличил скорость на 30 км/ч и через 3 часа прибыл на станцию по расписанию.
3. Необходимо найти среднюю скорость поезда до увеличения скорости, обозначим её $v$ (км/ч).

Обозначим переменные:

• $v$ — средняя скорость поезда до увеличения (км/ч).
• $t$ — время, которое поезд должен был затратить на маршрут без задержки (часов).
• Расстояние до станции обозначим как $S$ (км).

Рассуждения:

1. Если бы поезд не был задержан, он бы двигался со скоростью $v$ и затратил бы $t$ часов:

   $$S = v \cdot t$$

2. Из-за задержки поезд был вынужден увеличить скорость на 30 км/ч. После этого он затратил на оставшийся путь $3$ часа:

   $$S = (v + 30) \cdot 3$$

3. По условию, задержка составила 1 час. Это значит, что реальное время движения $t + 1$ совпало с изначально запланированным:

   $$t + 1 = 3$$

   Отсюда $t = 2$ (изначально поезд должен был потратить 2 часа на маршрут).

Уравнение:

Теперь мы знаем, что $t = 2$, и можем подставить это в выражения для расстояния $S$. Так как $S$ одинаковое в обоих случаях, приравняем:

Подставим $t = 2$:

Решение уравнения:

Раскроем скобки:

Перенесем $3v$ в левую часть:

Проверка:

1. Если $v = 90$, то изначально поезд должен был ехать 2 часа:

   $$S = 90 \cdot 2 = 180 \, \text{км.}$$

2. После задержки скорость увеличилась до $v + 30 = 120$, и поезд затратил 3 часа:

   $$S = 120 \cdot 3 = 360 \, \text{км.}$$

Расстояние совпадает, значит, расчёты верны.

Ответ:

Средняя скорость поезда до остановки составляет 90 км/ч.